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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
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Hallo,
bei der ersten Aufgabe weiß ich nicht wie ich das zeigen soll. Ich habe es nur mal mit den Vektoren [mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} } [/mm] ausprobiert, weiß aber nicht wie ich das generell zeigen kann.
Zum zweiten Bild habe ich nur eine kurze Frage. Kann man durch die quadratische Form einer Matrix auf deren Definitheit schließen? Ich weiß nicht ob der Aufgabenteil zusammenhängen soll oder nicht (in den Teilaufgaben vorher hat man zb schon die Eigenwerte ausgerechnet, weshalb man auch von vornerein die Definitheit kennt)
ciao, Simon.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Mi 10.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Zeige zunächst: A = [mm] A^T [/mm] und dann [mm] A^2 [/mm] = I. Damit hast Du die orthogonalität von A.
Wegen A = [mm] A^T [/mm] ist A symmetrisch, hat also nur reelle Eigenwerte. (Ich hoffe Ihr hattet das).
Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, also ex. ein x im [mm] R^n [/mm] mit x [mm] \not= [/mm] 0 und
[mm] \lambda [/mm] x = Ax, also, wegen [mm] A^2 [/mm] = I, x = [mm] A^2 [/mm] x = [mm] \lambda [/mm] Ax =( [mm] \lambda)^2 [/mm] x.
Da x [mm] \not= [/mm] 0, folgt: ( [mm] \lambda)^2 [/mm] = 1, also [mm] \lambda [/mm] = 1 oder [mm] \lambda [/mm] = -1.
Berechne mal das Matrix- Vektorprodukt Aa , welche Eigenschaft hat a ????
FRED
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Bevor ich versuche den Beweis weiter zu verstehen, ist mir nicht klar wie ich denn die Orthogonalität und Symmetrie zeige. Mir ist schon klar, dass die Matrix symmetrisch sein muss (weil die Einheitsmatrix symmetrisch ist und die Matrix die subtrahiert wird auch symmetrisch ist), aber wie zeige ich das?
PS: Das eine symmetrische Matrix nur reele Eigenwerte hat hatten wir.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Mi 10.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Bevor ich versuche den Beweis weiter zu verstehen, ist mir
> nicht klar wie ich denn die Orthogonalität und Symmetrie
> zeige. Mir ist schon klar, dass die Matrix symmetrisch sein
> muss (weil die Einheitsmatrix symmetrisch ist und die
> Matrix die subtrahiert wird auch symmetrisch ist), aber wie
> zeige ich das?
Nachrechnen! Berechne doch einfach [mm] $A^T$. [/mm] Das ist [mm] $(I_{n,n} [/mm] - 2 a [mm] a^T)^T$. [/mm] Was kennst du fuer Rechenregeln fuer die Transposition?
Ueberall in den Rechnungen brauchst du uebrigens dass $|a| = 1$ ist: das bedeutet ja, dass [mm] $a^T [/mm] a = 1$ ist.
LG Felix
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[mm] =I_{n,n} [/mm] - [mm] 2(aa^{T})^{T}
[/mm]
[mm] =I_{n,n} [/mm] - [mm] 2(a^{T}a)
[/mm]
[mm] =I_{n,n} [/mm] - 2
Aber damit hätte ich doch jetzt eine 2x2 Einheitsmatrix - ein Skalar oder wie is das mit der Einheitsmatrix gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Do 11.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]=I_{n,n}[/mm] - [mm]2(aa^{T})^{T}[/mm]
> [mm]=I_{n,n}[/mm] - [mm]2(a^{T}a)[/mm]
Das ist falsch ! Für 2 Matrizen A und B gilt allgemein:
[mm] (AB)^T [/mm] = [mm] B^T A^T,
[/mm]
also [mm] (aa^{T})^{T} [/mm] = [mm] (a^T)^T a^T [/mm] = [mm] aa^T
[/mm]
FRED
> [mm]=I_{n,n}[/mm] - 2
>
> Aber damit hätte ich doch jetzt eine 2x2 Einheitsmatrix -
> ein Skalar oder wie is das mit der Einheitsmatrix gemeint?
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