Kleiner Beweis < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Do 12.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
Ein kleiner Beweis möchte mir nicht gelingen, jemand von euch hat sicher schnell die entscheidene Idee.
Es sei [mm] $(a_i)_{i \in \IN}$ [/mm] eine Folge von Zahlen, wobei [mm] $a_i \in [/mm] [0,1]$ für alle $i [mm] \in \IN$.
[/mm]
Ich möchte nun zeigen, dass es möglich ist um [mm] $\produkt_{i=1}^{n} (1-a_i) \to [/mm] 0 $ für n [mm] $\to \infty$ [/mm] zu verifizieren, einfach [mm] $\summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] zu beweisen.
Intuitiv scheint mir dies zwar klar, doch wie macht man das formal?
Für eure Hilfe vielen Dank im Voraus.
Viele Grüße,
Dester
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Do 12.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen,
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> Ein kleiner Beweis möchte mir nicht gelingen, jemand von
> euch hat sicher schnell die entscheidene Idee.
> Es sei [mm](a_i)_{i \in \IN}[/mm] eine Folge von Zahlen, wobei [mm]a_i \in [0,1][/mm]
> für alle [mm]i \in \IN[/mm].
> Ich möchte nun zeigen, dass es
> möglich ist um [mm]\produkt_{i=1}^{n} (1-a_i) \to 0[/mm] für n
> [mm]\to \infty[/mm] zu verifizieren, einfach [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_i = \infty[/mm]
> zu beweisen.
> Intuitiv scheint mir dies zwar klar, doch wie macht man das
> formal?
Hallo,
ich habe ein Gegenbeispiel. Die Zahlen 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 [mm] ...1/2^n [/mm] ... liegen offensichtlich alle im Intervall (0;1). Ihre Summe ist aber nicht unendlich.
Gruß Abakus
>
> Für eure Hilfe vielen Dank im Voraus.
>
> Viele Grüße,
> Dester
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Do 12.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke für die schnelle Antwort.
Das stimmt, aber es gilt nicht $ [mm] \produkt_{i=1}^{\infty} (1-\bruch{1}{2^n}) \to [/mm] 0 $, oder doch? Denn widerlegt es ja nichts.
Vielleicht war das ein Missverständnis:
Ich möchte beweisen, dass die Aussage $ [mm] \produkt_{i=1}^{\infty} (1-a_i) \to [/mm] 0 $ richtig ist, falls $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] = [mm] \infty [/mm] $ gilt.
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Huhu,
deine Postings widersprechen sich ein wenig.
Im ersten Posting sagt du:
> Ich möchte nun zeigen, dass es möglich ist um $ [mm] \produkt_{i=1}^{n} (1-a_i) \to [/mm] 0 $ für n $ [mm] \to \infty [/mm] $ zu verifizieren, einfach $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] = [mm] \infty [/mm] $ zu beweisen.
Hier sagst du, dass du letztlich zeigen willst:
$ [mm] \produkt_{i=1}^{n} (1-a_i) \to [/mm] 0 [mm] \gdw \summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] = [mm] \infty [/mm] $
und im zweiten Posting sagst du nur noch, dass du zeigen willst:
[mm] $\summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] = [mm] \infty \Rightarrow \produkt_{i=1}^{n} (1-a_i) \to [/mm] 0$
was ein nicht zu unterscheidender Unterschied ist.
Insbesondere können beim zweiten Folgen existieren, für die [mm] $\produkt_{i=1}^{n} (1-a_i) \to [/mm] 0$ gilt, aber [mm] $\summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] eben nicht.
> Das stimmt, aber es gilt nicht $ [mm] \produkt_{i=1}^{\infty} (1-\bruch{1}{2^n}) \to [/mm] 0 $, oder doch?
Nein, es gilt $ [mm] \produkt_{i=1}^{\infty} (1-\bruch{1}{2^n}) \approx [/mm] 0.2887$
MFG,
Gono.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:58 Do 12.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Danke für die schnelle Antwort.
> Das stimmt, aber es gilt nicht [mm]\produkt_{i=1}^{\infty} (1-\bruch{1}{2^n}) \to 0 [/mm],
> oder doch? Denn widerlegt es ja nichts.
>
> Vielleicht war das ein Missverständnis:
> Ich möchte beweisen, dass die Aussage
> [mm]\produkt_{i=1}^{\infty} (1-a_i) \to 0[/mm] richtig ist, falls
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_i = \infty[/mm] gilt.
Ach so.
wenn die Summe aller [mm] a_i [/mm] unendlich ist, muss es unendlich viele [mm] a_i [/mm] geben, die größer als Null sind (falls es nur endlich viele gäbe, wäre deren Summe endlich).
Die Menge aller [mm] a_i>0 [/mm] hat ein minimales Element, nennen wir dies m.
Die Werte [mm] 1-a_i [/mm] sind dann entweder 1 (falls [mm] a_1=0), [/mm] oder sie sind kleiner oder gleich 1-m.
1-m nennen wir q mit q<1. Das Produkt [mm] q*q*...*q=q^n [/mm] konvergiert gegen 0, dann konvergiert das Produkt der unendlich vielen [mm] (1-a_i) [/mm] erst recht.
Gruß Abakus
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:17 Do 12.08.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
die Antwort geht so leider nicht 
> Die Menge aller [mm]a_i>0[/mm] hat ein minimales Element, nennen
> wir dies m.
Nein. Es muss kein minimales Element geben. Höchstens ein Infimum.
> Die Werte [mm]1-a_i[/mm] sind dann entweder 1 (falls [mm]a_1=0),[/mm] oder
> sie sind kleiner oder gleich 1-m.
Das stimmt soweit.
> 1-m nennen wir q mit q<1
Und hier ist der Fehler.
Es gibt keine Begründung, wieso m=0 und daher q=1 nicht gelten sollte.
Das wird sogar in den meisten Fällen der Fall sein bei deiner Begründung, da [mm] a_n [/mm] ja in den kritischen Fällen eine Nullfolge sein wird (bspw. [mm] \bruch{1}{n})
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Do 12.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo zusammen,
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> Ein kleiner Beweis möchte mir nicht gelingen, jemand von
> euch hat sicher schnell die entscheidene Idee.
> Es sei [mm](a_i)_{i \in \IN}[/mm] eine Folge von Zahlen, wobei [mm]a_i \in [0,1][/mm]
> für alle [mm]i \in \IN[/mm].
> Ich möchte nun zeigen, dass es
> möglich ist um [mm]\produkt_{i=1}^{n} (1-a_i) \to 0[/mm] für n
> [mm]\to \infty[/mm] zu verifizieren, einfach [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_i = \infty[/mm]
> zu beweisen.
> Intuitiv scheint mir dies zwar klar, doch wie macht man das
> formal?
>
> Für eure Hilfe vielen Dank im Voraus.
Das ist jetzt ins Unreine gesprochen:
Seien die [mm] a_i\not=1. [/mm] Wenn [mm] \produkt (1-a_i)\to0 [/mm] gilt, sollte auch [mm] e^{\summe\ln(1-a_i)}\to0 [/mm] gelten oder aber [mm] \summe\ln(1-a_i)\to-\infty. [/mm] Nun ist aber [mm] \summe_{i=1}^n\ln(1-a_i)\le-\summe_{i=1}^n a_i.
[/mm]
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Do 12.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Hallo euch Dreien,
dankeschön für eure Antworten.
In der Tat möchte ich lediglich $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] = [mm] \infty \Rightarrow \produkt_{i=1}^{n} (1-a_i) \to [/mm] 0 $ zeigen und tut mir leid, sollte dies im ersten Posting nicht deutlich genug ausgedrückt worden sein.
Ich habe diese Idee innerhalb eines umfangreicheren Beweises gesehen, in dem diese Aussage wie selbstverständlich verwandt wird. Zum eigenen Verständnis wollte ich dies selber nochmal formal beweisen. Leider ist es mir nach wie vor nicht gelungen. Über weitere Idee würd ich mich sehr freuen!
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Huhu,
gfm hats dir doch bereits bewiesen:
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow -\summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] = [mm] -\infty$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow e^{-\summe_{i=1}^{\infty} a_i} [/mm] = 0$
$ [mm] \Rightarrow e^{-\summe_{i=1}^{\infty} a_i} [/mm] = 0$
$ [mm] \Rightarrow \produkt_{i=1}^{\infty} e^{-a_i} [/mm] = 0$
Verwende nun, dass für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ gilt: $1 - x [mm] \le e^{-x}$, [/mm] dann stehts da.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Do 12.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Dankeschön!
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