Kleiner Fermatscher Satz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hier mit Bitte um Prüfung ein eleganter Beweis des KFS mittels vollständiger Induktion. Bezüglich meiner Nomenklatur, sei angemerkt: Mein [mm] \delta(m;p) [/mm] bezeichne den Divisionsrest von m:p, also mmod(p).
[mm] \forall p\in \IP, m\in \IZ [/mm] :
A(m): [mm] \delta(m^{p};p)=\delta(m;p)
[/mm]
A(2): [mm] \delta( 2^{p};p)=\delta(\summe_{k=0}^{p}\vektor{p\\k};p)=\delta(\summe_{k=0,k=p}^{}\vektor{p\\k};p)= \delta(2;p) \Box
[/mm]
A(m+1): [mm] \delta((m+1)^{p};p)=\delta(\summe_{k=0}^{p}\vektor{p\\k}m^{k};p)=\delta( \summe_{k=0,k=p}^{}\vektor{p\\k}m^{k};p)=\delta(1+m^{p};p)\overbrace{=}^{A(m)}\delta(m+1;p) \Box
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Di 26.04.2005 | | Autor: | MicMuc |
Am Ende sollte es nur [mm] (1+m^p,p) [/mm] anstatt [mm] (1+m^k,p) [/mm] heissen!
Aber ansonsten ist das wohl okay (habe zumindest nichts gefunden).
P.S.:
Den kleinen Fermat kann man auch ohne Induktion "elegant" beweisen, aber Deine kurze Induktion ist zumindest zusätzlich auch noch sehr "elementar", wie die Aussage des Satzes.
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