Kleiner Satz von Fermat? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IZ, [/mm] und sei p > 2 eine Primzahl.
Untersuchen Sie, welche Werte [mm] a^{\bruch{p-1}{2}} [/mm] mod p annehmen kann. |
Hallo,
ich habe hier einen Beweis für den Kleinen Satz von Fermat, und irgendwie sieht das Problem ja so ähnlich aus. Leider komme ich dennoch nicht weiter und wäre für einen Tipp/Ansatz dankbar...
Viele Grüße,
Martin
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x=[mm]a^{\bruch{p-1}{2}}[/mm]
Hilft [mm] x^2 [/mm] weiter?
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Hallo,
> Hilft [mm]x^2[/mm] weiter?
Das könnte sein...
Falls ggT(a, p) > 1, dann gilt a = kp, also x mod p = 0.
Falls ggT(a, p) = 1, dann gilt laut Kleinem Satz von Fermat, dass [mm] x^2 [/mm] mod p =
[mm] a^{p-1} [/mm] mod p = 1. Dann hab ich hier ein Lemma:
"Sei p > 2 eine Primzahl,. Es gibt genau zwei Zahlen x in [mm] \IZ_{p}, [/mm] die die Kongruenz [mm] x^2 \equiv [/mm] 1 (mod p) erfüllen. Diese Zahlen sind 1 und p - 1."
Also gilt x mod p = 1 oder x mod p = p - 1.
Ist das richtig, und hab ich an alles gedacht?
Danke und Gruß,
Martin
PS: Falls ja, dann schreib ich das in meiner Lösung natürlich noch ein Bisschen ausführlicher auf ...
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So wie ich das sehe, ist alles richtig.
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