Kleines Rechenproblem < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Hallo ihr Lieben!
Ich mache gerade ein bisschen Abivorbereitung im Themengebiet Analysis.
Ich bin dabei, die Extrema einer ganzrationalen Funktion zu berechnen und bisher klappt auch alles sehr gut...
Ich hab auch ein Buch, das Lösungen biete, nur stimmt mein Ergebnis nicht mit dem des Buches überein, obwohl es mir klar ist, dass das Ergebnis des Buches richitg sein muss.
Die Funktionsschar
fa(x) = [mm] x^4 [/mm] - [mm] 2ax^3 [/mm] + [mm] a^2x^2
[/mm]
hat, wie ich berechnet habe, 3 mögliche Extrema!
Nach meiner waären diese Extrema in allen Fällen TP, was ja nicht möglich ist.
Vielleicht könnt ihr mir kurz helfen!
Ich poste mal den wichtigen Teil der Aufgabe...
Also, erstmal die Ableitungen
f'(x) = [mm] 4x^3 [/mm] - [mm] 6ax^2 [/mm] + 2a^2x
f''(x) = [mm] 12x^2 [/mm] - 12ax + [mm] 2a^2
[/mm]
f'(x) = 0 liefert die Ergebnisse
[mm] x_1 [/mm] = 0, [mm] x_2 [/mm] = a, [mm] x_3 [/mm] = 1/2 a
Jetzt habe ich das zur Überprüfung in die 2. Ableitung eingesetzt
f''(0) = [mm] 2a^2 [/mm] > 0 -> TP (0/0)
f''(a) = [mm] 2a^2 [/mm] > 0 -> TP (a/0)
Und jetzt kommt das Problem
f''(1/2a) = [mm] 2a^2 [/mm]
Das jedenfalls ergab meine Rechnung.
Die Lösung meines Buches sagt
f''(1/2a) = [mm] -a^2
[/mm]
Das wäre logisch, weil es so ja ein HP wäre.
Kann mir vielleicht jemand die Rechnung mit Zwischenschritten posten, weil ich wirklich nicht weiß, wie man auf dieses Ergebnis gekommen ist?!
LG und vielen Dank schonmal
AMY
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amy!
Das sisht schon alles sehr gut aus. Setzen wir also mal den Wert [mm] $x_3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a}{2}$ [/mm] in die 2. Ableitung ein:
[mm] $$f_a''(x_3) [/mm] \ = \ [mm] f_a''\left(\bruch{a}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] 12*\left(\bruch{a}{2}\right)^2-12a*\left(\bruch{a}{2}\right)+2a^2 [/mm] \ = \ [mm] 12*\bruch{a^2}{4}-6a^2+2a^2 [/mm] \ = \ [mm] 3a^2-6a^2+2a^2 [/mm] \ = \ [mm] -a^2 [/mm] \ < \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Hallo Loddar!
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich hatte vergessen, das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zu quadrieren - so ein Mist!
Nunja, aber so ist die Lösung auch logisch!
Nochmal vielen, vielen Dank!
LG, Amy
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