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Forum "Folgen und Reihen" - Kleinste-Quadrate-Problem
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Kleinste-Quadrate-Problem: Hey,
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 Do 14.06.2012
Autor: looney_tune

Aufgabe
Sei F [mm] \in \IR^n \to \IR^m, [/mm] m [mm] \ge [/mm] n, eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Wir betrachten das Kleinste-Quadrate-Problem:

min f(x)= [mm] \bruch{1}{2} \parallel [/mm] F(x) [mm] \parallel^2 [/mm] _{2} = [mm] \bruch{1}{2} F^T [/mm] (x)F(x)
1.) Bestimmen sie Gradient f und [mm] Gradient^2 [/mm] f und schreiben die das Newton-Verfahren zur Lösung (KQP)auf.

Ich weiß nicht wie ich den Gradienten von f bilden soll. Weiß jemand wie ich das machen kann?

LG

        
Bezug
Kleinste-Quadrate-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Do 14.06.2012
Autor: barsch

Hallo,


> Sei F [mm]\in \IR^n \to \IR^m,[/mm] m [mm]\ge[/mm] n, eine zweimal stetig
> differenzierbare Funktion. Wir betrachten das
> Kleinste-Quadrate-Problem:
>  
> min f(x)= [mm]\bruch{1}{2} \parallel[/mm] F(x) [mm]\parallel^2[/mm] _{2} = [mm]\bruch{1}{2} F^T[/mm] (x)F(x)
>  1.) Bestimmen sie Gradient f und [mm]Gradient^2[/mm] f und
> schreiben die das Newton-Verfahren zur Lösung (KQP)auf.
>  Ich weiß nicht wie ich den Gradienten von f bilden soll.
> Weiß jemand wie ich das machen kann?

bezeichne [mm]J(x)=\bruch{d}{dx}F(x)[/mm] die Jacobi-Matrix von F, [mm]J^{T}[/mm] und [mm]F^{T}[/mm] die transponierten Matrizen. So ist

[mm]\bigtriangledown f(x)=\bruch{1}{2}*\left ( J^T(x)*F(x)+F^T(x)*J(x) \right )=J^T(x)*F(x)[/mm]

> LG

Gruß
barsch


Bezug
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