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Hallo zusammen,
sei [mm] Y\in\IR^n [/mm] dann löst [mm] \hat\beta=(X'X)^{-1}X'Y [/mm] die Gleichung:
[mm] \min_{X\beta\in W_r}\|Y-X\beta\|^2=\|Y-X\hat\beta\|^2,
[/mm]
wobei [mm] W_r [/mm] ein r-dimensionaler Unterraum des [mm] \IR^n [/mm] ist.
Weiter ist ein Entscheidungsproblem gegeben, d.h. entweder [mm] X\beta\in W_q [/mm] oder [mm] X\beta\in W_r\setminus W_q [/mm] mit q<r.
Falls [mm] X\beta\in W_q, [/mm] dann ist [mm] X\beta=X_q\beta_q [/mm] ansonsten ist [mm] X\beta=X_r\beta_r.
[/mm]
Als Indikator für eine Entscheidung wird der Quotient [mm] \frac{\|Y-X_q\hat\beta\|^2}{\|Y-X_r\hat\beta\|^2} [/mm] verwendet, welcher um so größer ist je geringer der Abstand zwischen Y und einem Element aus [mm] W_r\setminus W_q [/mm] ist.
Angenommen man erzeugt sich einen Vektor [mm] Y=X\beta+\epsilon [/mm] mit [mm] \epsilon\sim\mathcal{N}_n(0,\Sigma). [/mm] Falls [mm] X\beta [/mm] aus einem dieser linearen Unterräume stammt ist dann der Quotient, mit größer werdendem n, signifikant? Dann Würde das doch auch soviel bedeuten wie, dass [mm] \hat\beta [/mm] ein konsitenter Schätzer, im Modell [mm] Y=X\beta+\epsilon, [/mm] für [mm] \beta [/mm] ist?
Ich gleube dass das nicht funktioniert, weil dazu die Fehler "gleichmäßig" um jedes [mm] (X\beta)_i [/mm] streuen müssten, macht das Sinn?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 18.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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