Kleinstes und größtes Element < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Besitzt die Menge [mm] A = {\bruch{m}{n}}[/mm] mit [mm] m , n\in\IN , 0 < m < n [/mm] ein größtes oder kleinstes Element? |
Hallo zusammen,
ich bin sehr neu an der Universität und diese Aufgabe ist eine auf dem ersten Übungszettel. Zu meinem Gedankengang:
Ich dachte mir bisher, dass [mm] \bruch{1}{2} [/mm] Supremum und gleichzeitig größtes Element der Menge A ist, und die 0 das Infimum, aber nicht das kleinste Element der Menge A ist.
Meine Antwort wäre also, dass die Menge ein größtes, aber kein kleinstes Element besitzt.
Falls das soweit richtig ist, ist meine Frage nun, wie ich das anhand mathematischer Formeln oder Methoden "berechnen" kann? Meine Antwort beruht bisher eigentlich nur auf logischer Überlegung, auf meinem Zettel steht auch sonst noch nichts. Reicht dies als Antwort aus?
Vielen Dank schonmal!
|
|
| |
|
Hallo Lauschgift,
da hast Du einen Denkfehler.
> Besitzt die Menge [mm]A = {\bruch{m}{n}}[/mm] mit [mm]m , n\in\IN , 0 < m < n[/mm]
> ein größtes oder kleinstes Element?
Vorab: nein.
> Hallo zusammen,
>
> ich bin sehr neu an der Universität und diese Aufgabe ist
> eine auf dem ersten Übungszettel. Zu meinem Gedankengang:
>
> Ich dachte mir bisher, dass [mm]\bruch{1}{2}[/mm] Supremum und
> gleichzeitig größtes Element der Menge A ist,
Setze mal n=m+1 und lass m wachsen. Was passiert?
> und die 0
> das Infimum, aber nicht das kleinste Element der Menge A
> ist.
>
> Meine Antwort wäre also, dass die Menge ein größtes,
> aber kein kleinstes Element besitzt.
Es gibt auch kein größtes.
> Falls das soweit richtig ist, ist meine Frage nun, wie ich
> das anhand mathematischer Formeln oder Methoden "berechnen"
> kann? Meine Antwort beruht bisher eigentlich nur auf
> logischer Überlegung, auf meinem Zettel steht auch sonst
> noch nichts. Reicht dies als Antwort aus?
Logische Überlegung ist auch Mathematik, aber Du musst sie nachvollziehbar formulieren.
Für die Suche nach dem größten Element siehe oben.
Für die Suche nach dem kleinsten Element setze m=1 und lass n wachsen.
Wie weist Ihr denn bisher Infimum (größte untere Schranke) und Supremum (kleinste obere Schranke) nach? Dürft Ihr Grenzwerte verwenden?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Do 18.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Besitzt die Menge [mm]A = {\bruch{m}{n}}[/mm] mit [mm]m , n\in\IN , 0 < m < n[/mm]
> ein größtes oder kleinstes Element?
schreibe das bitte so (klick auf die Formel, oder fahr' mit der Maus drüber)
[mm] $$A=\{\frac{m}{n}:\;\;m,n \in \IN,\;\, 0 < m < n\}$$
[/mm]
oder noch besser so:
[mm] $$A=\left\{\frac{m}{n}:\;\;m,n \in \IN,\;\, 0 < m < n\right\}\,.$$
[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich bin sehr neu an der Universität
Ich kam nur "halbneu" an die Universität und bin "mittelalt" mit Abschluss
abgegangen! 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Do 18.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Besitzt die Menge [mm]A = {\bruch{m}{n}}[/mm] mit [mm]m , n\in\IN , 0 < m < n[/mm]
> ein größtes oder kleinstes Element?
> Hallo zusammen,
>
> ich bin sehr neu an der Universität und diese Aufgabe ist
> eine auf dem ersten Übungszettel. Zu meinem Gedankengang:
>
> Ich dachte mir bisher, dass [mm]\bruch{1}{2}[/mm] Supremum und
> gleichzeitig größtes Element der Menge A ist,
was ist mit [mm] $\tfrac{3}{4}$? [/mm] Wäre [mm] $\tfrac{1}{2}\,$ [/mm] hier Supremum, so müßte wegen [mm] $\tfrac{3}{4} \in [/mm] A$
hier doch insbesondere [mm] $\tfrac{3}{4} \le \tfrac{1}{2}$ [/mm] gelten, da das Supremum von [mm] $A\,$ [/mm] insbesondere
obere Schranke für [mm] $A\,$ [/mm] ist!
> und die 0
> das Infimum, aber nicht das kleinste Element der Menge A
> ist.
Reverend sagte ja schon einiges dazu. Es gibt hier weder ein größtes noch ein
kleinstes Element, d.h., weder Maximum noch Minimum existieren.
Beweise:
(I)
1. Die Zahl [mm] $1\,$ [/mm] ist obere Schranke für [mm] $A\,.$ [/mm] (Damit ist übrigens auch jede Zahl $> [mm] 1\,$
[/mm]
obere Schranke für [mm] $A\,$!)
[/mm]
2. Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so ist [mm] $1-\varepsilon$ [/mm] keine obere Schranke für [mm] $A\,.$ [/mm] (Dafür zeigst
Du, dass es ein Element $a [mm] \in A\,$ [/mm] mit [mm] $1-\varepsilon [/mm] < a$ [mm] $(\le [/mm] 1)$ gibt!)
Was folgt damit?
(II)
Nun gib' mal an, von welcher Zahl Du vermutest, dass sie das Infimum ist. Nennen wir
sie mal [mm] $I\,$ [/mm] (Du gibst diese Zahl natürlich konkret an!)
Dann beweise:
1. [mm] $I\,$ [/mm] ist untere Schranke für [mm] $A\,.$
[/mm]
2. Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so ist [mm] $I\red{\;+\;}\varepsilon$ [/mm] keine untere Schranke für [mm] $A\,.$
[/mm]
(Tipp zu (II) 2.: [mm] $m=1\,$ [/mm] festhalten, [mm] $n\,$ [/mm] "groß genug" wählen!)
P.S. Die Ungleichung $0 < m < n$ ($m,n [mm] \in \IN$) [/mm] kann man übrigens auch erstmal einfach durch
[mm] $n\,$ [/mm] dividieren:
$$0 < m < n [mm] \;\;\;\stackrel{(\iff)}{\Longrightarrow} \;\;\;0 [/mm] < [mm] \tfrac{m}{n} [/mm] < [mm] 1\,.$$ [/mm]
Das hilft schonmal, um wenigstens erste Schranken für [mm] $A\,$ [/mm] "offensichtlich" zu machen - das
müssen dann i.a. natürlich noch nicht "die Besten" sein!
(Du erkennst hier aber schonmal, dass [mm] $\inf(A) \ge [/mm] 0$ und [mm] $\sup(A) \le [/mm] 1$ sein muss! Nebenbei:
Warum existieren hier überhaupt [mm] $\inf(A)$ [/mm] und [mm] $\sup(A)$?)
[/mm]
P.P.S. Um zu beweisen, dass weder Maximum noch Minimum existieren, gehst Du so vor - bspw.
für die Nichtexistenz des Maximums: Angenommen, [mm] $A\,$ [/mm] hätte ein Maximum. Dann gibt es ein
Element [mm] $\underline{a} \in [/mm] A$ mit [mm] $\underline{a}=\max(A)\,.$ [/mm] Da im Falle der Existenz des Maximums das Maximum mit dem
Supremum übereinstimmt, folgt also [mm] $\underline{a}=\max(A)=\sup(A)=1\,$ [/mm] für dieses [mm] $\underline{a} \in A\,.$ [/mm] Wegen [mm] $\underline{a} \in [/mm] A$ folgt, dass sich
[mm] $\underline{a}=m_1/n_1$ [/mm] für geeignete natürliche Zahlen [mm] $m_1,\,n_1$ [/mm] mit $0 < [mm] m_1 [/mm] < [mm] n_1$ [/mm] schreiben läßt, also
[mm] $$\underline{a}=\frac{m_1}{n_1}=1\,.$$
[/mm]
Wieso ist das nun ein Widerspruch (bzw. wieso folgt daraus einer)?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Na da war ich tatsächlich viel zu früh fertig mit dem Nachdenken. Natürlich ist ][mm] \bruch{1}{2}[/mm] kein größtes Element der Menge.
Zu reverend:
Wenn ich [mm] n = m + 1 [/mm] setze, dann nähert sich [mm]\bruch{m}{n}[/mm] der 1 an.
Entsprechend nähert sich für wachsendes [mm]n[/mm] und [mm]m=1[/mm] der Bruch der Null.
Bisher haben wir nur die Begriffe "Supremum" und "Infimum" in der Vorlesung kennengelernt. Als konkrete Anwendung dessen ist dies hier die erste Aufgabe dazu, entsprechend bin ich mit den geforderten Methoden noch nicht ganz vertraut.
Einen Grenzwert haben wir noch nicht betrachtet.
Zu Marcel:
Da du nur "halbneu" an die Universität kamst, fiel dir der Einstieg sicherlich leichter als den meisten. :) Spaß beiseite, du hast Recht, das war etwas blöd formuliert.
Beweis (I):
1. Folgt dies nicht direkt aus der Bedingung [mm]0 > m > n[/mm]? Angenommen, es gebe ein $ a [mm] \in A\, [/mm] $ mit [mm] a > 1 [/mm]. Dann wäre doch [mm]\bruch{m}{n} > 1[/mm] beziehungsweise [mm] m > n [/mm], also nicht $ [mm] \in A\, [/mm] $.
2. Hier muss ich im Allgemeinen leider passen. Natürlich gibt es so ein a, falls ich zum Beispiel [mm] \varepsilon = 1 [/mm] wähle, wäre es jedes $ a [mm] \in A\, [/mm] $. Allerdings ist dies doch für jedes beliebige [mm] \varepsilon > 0 [/mm] zu zeigen?
Daraus würde folgen, dass 1 die kleinste obere Schranke zu [mm] A [/mm], also das Supremum von A ist.
(II)
Ich vermute als Infimum der Menge mal die [mm] 0 [/mm].
1. Ich falle irgendwie immer auf die Definition meiner Menge zurück. Wäre [mm] 0 [/mm] nicht das Infimum von [mm]A[/mm], so müsste es ein $ a [mm] \in A\, [/mm] $ geben, welches kleiner als 0 ist. Daraus würde folgen, dass [mm] m < 0 [/mm], was allerdings dann kein Element der Menge mehr wäre, da [mm] 0 < m < n [/mm]
2. Auch hier weiß ich so recht nicht weiter. Ich rechne [mm] 0 < \bruch{m}{n} + \varepsilon [/mm], woraus folgt [mm] \varepsilon > - \bruch{m}{n} [/mm], was ja wegen [mm] 0 < m < n [/mm] wieder nicht sein kann. Direkt bewiesen habe ich das damit allerdings nicht, da ich wieder nur die Definition in der Menge benutze.
Zum P.P.S Teil:
Das ist ein Widerpspruch, da $ [mm] \underline{a}=\frac{m_1}{n_1}=1\,. [/mm] $
mit [mm] m_1 < n_1 [/mm] nicht 1 werden kann.
Ich denke, dass jede beschränkte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] Supremum und Infimum haben muss. Allerdings kann ich mir gut vorstellen, dass das ein Zirkelschluss ist.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe, ich freue mich auf weitere Antworten!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Do 18.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Na da war ich tatsächlich viel zu früh fertig mit dem
> Nachdenken. Natürlich ist ][mm] \bruch{1}{2}[/mm] kein größtes
> Element der Menge.
>
> Zu reverend:
>
> Wenn ich [mm]n = m + 1[/mm] setze, dann nähert sich [mm]\bruch{m}{n}[/mm]
> der 1 an.
>
> Entsprechend nähert sich für wachsendes [mm]n[/mm] und [mm]m=1[/mm] der
> Bruch der Null.
>
> Bisher haben wir nur die Begriffe "Supremum" und "Infimum"
> in der Vorlesung kennengelernt. Als konkrete Anwendung
> dessen ist dies hier die erste Aufgabe dazu, entsprechend
> bin ich mit den geforderten Methoden noch nicht ganz
> vertraut.
>
> Einen Grenzwert haben wir noch nicht betrachtet.
>
> Zu Marcel:
>
> Da du nur "halbneu" an die Universität kamst, fiel dir der
> Einstieg sicherlich leichter als den meisten. :) Spaß
> beiseite, du hast Recht, das war etwas blöd formuliert.
es war lustig formuliert.
> Beweis (I):
>
> 1. Folgt dies nicht direkt aus der Bedingung [mm]0 > m > n[/mm]?
Das war doch eher $0 [mm] \red{\;<\;}m \red{\;<\;} [/mm] n$!
> Angenommen, es gebe ein [mm]a \in A\,[/mm] mit [mm]a > 1 [/mm]. Dann wäre
> doch
[mm] $$\red{a\;=}\;$$
[/mm]
[mm] $\bruch{m}{n} [/mm] > 1$
mit [mm] $m,\;n \in \IN$ [/mm] und daher
> beziehungsweise [mm]m > n [/mm], also nicht
[mm] $$\red{a}\;$$
[/mm]
> [mm]\in A\, [/mm].
Widerspruch. Damit weißt Du nun, dass für alle $a [mm] \in [/mm] A$ sicher $a [mm] \le [/mm] 1$ gilt. So kannst Du das machen!
(Das ist übrigens etwas komisch aufgeschrieben, ich hätte es so notiert: Für $a [mm] \in [/mm] A$ existieren
$m,n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $0 < m < [mm] n\,$ [/mm] und [mm] $a=m/n\,.$ [/mm] Wegen $0 < m < [mm] n\,$ [/mm] folgt $a=m/n < [mm] 1\,,$ [/mm] also gibt es kein $a [mm] \in [/mm] A$ mit $a [mm] \ge 1\,.$
[/mm]
Daraus folgt natürlich dann auch das, was Du zeigst, nämlich, dass es kein $a [mm] \in [/mm] A$ mit $a > [mm] 1\,$ [/mm] gibt.
(Denn: [mm] $(\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] a < [mm] 1)\;\;\Longrightarrow\;\;(\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \le [/mm] 1)$.)
> 2. Hier muss ich im Allgemeinen leider passen.
> Natürlich gibt es so ein a, falls ich zum Beispiel
> [mm]\varepsilon = 1[/mm] wähle, wäre es jedes [mm]a \in A\, [/mm].
Na, wir lassen das [mm] $\varepsilon$ [/mm] schon unkonkret, es soll nur die Eigenschaft [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ behalten!
> Allerdings ist dies doch für jedes beliebige [mm]\varepsilon > 0[/mm]
> zu zeigen?
Ja!
> Daraus würde folgen, dass 1 die kleinste obere Schranke zu
> [mm]A [/mm], also das Supremum von A ist.
Na, überlege mal: Du hast ja schon mit Reverends Hinweis erkannt, dass $A [mm] \ni [/mm] n/(n+1) [mm] \to 1\,$ [/mm] ($n [mm] \to \infty$). [/mm]
(Wir erwähnen das im Beweis nicht, denn eigentlich habt ihr Folgen noch nicht behandelt!
Aber wir können ja mit "Schulerfahrung" wenigstens mal Ideen für Ansätze finden...)
Suche dementsprechend (wenigstens ein!) [mm] $n_0=n_0(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $$\frac{n_0}{n_0+1}> 1-\varepsilon\,.$$ [/mm]
(Tipp: Ungleichung umformen und mal [mm] $n_0$ [/mm] auf eine Seite bringen, das hilft beim Suchen, um
einen "besseren Blick" für geeignete(s) [mm] $n_0$ [/mm] zu bekommen!
Beispielsweise ist jedes natürliche [mm] $n_0 \ge \left[\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}\right]+k$ [/mm] für jedes $k [mm] \in \IN=\{1,2,3,...\}$
[/mm]
geeignet - wobei das hier nur interessant wird, wenn $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] 1\,.$ [/mm] Dabei ist [mm] $[x]\,$ [/mm] die
Gaußklammer von [mm] $x\,,$ [/mm] d.h.
[mm] $[x]:=\max\{z \in \IZ:\;\;z \le x\}\,.$) [/mm]
> (II)
> Ich vermute als Infimum der Menge mal die [mm]0 [/mm].
> 1. Ich falle irgendwie immer auf die Definition meiner
> Menge zurück. Wäre [mm]0[/mm] nicht das Infimum von [mm]A[/mm]
Der letzte Satz ist falsch: "Wäre [mm] $0\,$ [/mm] nicht eine untere Schranke für [mm] $A\,$..." [/mm] kannst
Du schreiben, dann ist das okay! Vielleicht meintest Du das auch und warst durcheinandergekommen?
> , so müsste
> es ein [mm]a \in A\,[/mm] geben, welches kleiner als 0 ist. Daraus
> würde folgen, dass [mm]m < 0 [/mm], was allerdings dann kein
> Element der Menge mehr wäre, da [mm]0 < m < n[/mm]
Naja, auch hier: Aber weil jedes $a [mm] \in [/mm] A$ als [mm] $a=m/n\,$ [/mm] mit $0 < m < n$ geschrieben werden
kann, und weil aus $0 < m < [mm] n\,$ [/mm] halt $m/n > [mm] 0\,$ [/mm] folgt, sind alle Elemente von [mm] $A\,$ [/mm] sicher nicht $< [mm] 0\,.$
[/mm]
> 2. Auch hier
> weiß ich so recht nicht weiter. Ich rechne [mm]0 < \bruch{m}{n} + \varepsilon [/mm],
> woraus folgt [mm]\varepsilon > - \bruch{m}{n} [/mm], was ja wegen [mm]0 < m < n[/mm]
> wieder nicht sein kann. Direkt bewiesen habe ich das damit
> allerdings nicht, da ich wieder nur die Definition in der
> Menge benutze.
Das kapiere ich gar nicht: Wäre $0 [mm] +\varepsilon$ [/mm] eine untere Schranke, so dürfte es kein $a [mm] \in [/mm] A$ mit
$a < [mm] 0+\varepsilon=\varepsilon$ [/mm] geben. Nun sind aber insbesondere alle Elemente der Bauart [mm] $a_n:=1/n$
[/mm]
mit $n [mm] \in \IN$ [/mm] Elemente aus [mm] $A\,,$ [/mm] also [mm] $a_n=1/n \in [/mm] A$ für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Nun benutze ![[]](/images/popup.gif) Satz 3.19 (oder
Das Archimedische Axiom (klick!)), um ein [mm] $a_n [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] anzugeben!
> Zum P.P.S Teil:
>
> Das ist ein Widerpspruch, da
> [mm]\underline{a}=\frac{m_1}{n_1}=1\,.[/mm]
> mit [mm]m_1 < n_1[/mm] nicht 1 werden kann.
Ja, genauer: Aus [mm] $\underline{a}=m_1/n_1=1$ [/mm] folgt aber [mm] $m_1=n_1\,,$ [/mm] im Widerspruch zu [mm] $m_1 [/mm] < [mm] n_1$ [/mm] (was wir mit
[mm] $\underline{a} \in [/mm] A$ begründet hatten)!
> Ich denke, dass jede beschränkte Teilmenge von [mm]\IR[/mm]
> Supremum und Infimum haben muss.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Allerdings kann ich mir
> gut vorstellen, dass das ein Zirkelschluss ist.
Wieso? (Definition 3.17, Satz 3.18!)
Also klar ist $A [mm] \subseteq \IR\,.$ [/mm] Für die Beschränktheit von [mm] $A\,$ [/mm] hättest Du aber auch sowas "beklopptes"
zeigen können wie:
1. Für alle $a [mm] \in [/mm] A$ gilt $a [mm] \le 201323\,.$ [/mm]
2. Für alle $a [mm] \in [/mm] A$ gilt $a [mm] \ge -535*\pi/\sqrt{2}\,.$
[/mm]
Wegen 1. wäre dann [mm] $A\,$ [/mm] nach oben beschränkt, wegen 2. nach unten und damit insgesamt beschränkt. Somit
würde folgen, dass [mm] $\sup(A)$ [/mm] existiert (weil wegen 1. $A [mm] \subseteq \IR$ [/mm] nach oben beschränkt ist) und analog, dass [mm] $\inf(A)$
[/mm]
existiert (weil $A [mm] \subseteq \IR$ [/mm] gemäß 2. nach unten beschränkt ist).
> Vielen Dank schonmal für die Hilfe,
Gerne! 
> ich freue mich auf
> weitere Antworten!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
