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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mo 24.10.2005 | | Autor: | denwag |
hi, hab gerade eine aufgabe vor mir und weiß gar nicht wieder anfangen soll. es handelt sich um folgende aufgabe:
Sei K ein angeordneter Körper. Für alle n [mm] \in [/mm] N und [mm] x_{1}, [/mm] . . . , [mm] x_{n}, y_{1}, [/mm] . . . , [mm] y_{n} \in [/mm] K ist zu zeigen
[mm] \summe_{1 \le i, j \le n} [/mm] ( [mm] x_{i} [/mm] - [mm] x_{j} [/mm] ) ( [mm] y_{i} [/mm] - [mm] y_{j} [/mm] ) = 2 ( n [mm] \summe_{k=1}^{n} x_{k} y_{k} [/mm] - ( [mm] \summe_{k=1}^{n} x_{k} [/mm] ) ( [mm] \summe_{k=1}^{n} y_{k} [/mm] ) ) .
Aus [mm] x_{1} \le [/mm] . . . [mm] \le x_{n} [/mm] und [mm] y_{1} \le [/mm] . . . [mm] \le y_{n} [/mm] folgt
( (1/n) [mm] \summe_{k=1}^{n} x_{k} [/mm] ) ( (1/n) [mm] \summe_{k=1}^{n} y_{k}
[/mm]
) [mm] \le [/mm] (1/n) [mm] \summe_{k=1}^{n} x_{k} y_{k} [/mm] .
Gleichheit gilt genau dann, wenn [mm] x_{1} [/mm] = . . . = [mm] x_{n} [/mm] oder [mm] y_{1} [/mm] = . . . = [mm] y_{n}.
[/mm]
Hoffe mir kann jemand bei meinem problem helfen, ich weiß wirklich nicht weiter.
Danke schon mal im vorraus.
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> hi, hab gerade eine aufgabe vor mir und weiß gar nicht
> wieder anfangen soll. es handelt sich um folgende aufgabe:
Hallo,
am besten fangen wir vorne an. Alles schön nach und nach.
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>A. Sei K ein angeordneter Körper. Für alle n [mm]\in[/mm] N und
> [mm]x_{1},[/mm] . . . , [mm]x_{n}, y_{1},[/mm] . . . , [mm]y_{n} \in[/mm] K ist zu
> zeigen
>
> [mm]\summe_{1 \le i, j \le n}[/mm] ( [mm]x_{i}[/mm] - [mm]x_{j}[/mm] ) ( [mm]y_{i}[/mm] -
> [mm]y_{j}[/mm] ) = 2 ( n [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}[/mm] - (
> [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k}[/mm] ) ( [mm]\summe_{k=1}^{n} y_{k}[/mm] ) ) .
Bei dieser Aufgabe ist es am wichtigsten, die Summation und die Indizes zu verstehen. Weißt Du denn, was mit [mm] \summe_{1 \le i, j \le n} [/mm] gemeint ist?
Das ist eine Abkurzung für [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}. [/mm] Also erst über j summieren und das Ergebnis dann über i.
Ein Beispiel: [mm] \summe_{1 \le i, j \le 3}a_ib_j= \summe_{i=1}^{3}\summe_{j=1}^{3}a_ib_j= \summe_{i=1}^{3}(a_ib_1+a_ib_2+a_ib_3)= (a_1b_1+a_1b_2+a_1b_3)+(a_2b_1+a_2b_2+a_2b_3)(a_3b_1+a_3b_2+a_3b_3)
[/mm]
Was man z.B. noch wissen muß, ist folgendes [mm] \summe_{i=1}^{n}a_k=na_k. [/mm] Denn der Index k hat mit der Summation über i nichts zu tun. Z.B. ist [mm] \summe_{i=1}^{3}5=(5+5+5)=3*5.
[/mm]
Noch ein Tip: das mit den Summen ist ja manchmal so unübersichtlich, man weiß nicht so recht mit den Klammern, usw. usf. Ich mach mir da gern ein übersichtliches Beispiel, mit n=2 oder n=3, um erstmal klarzusehen, was gemeint ist. Damit die Zeichen einen Sinn bekommen.
So, nun zeig' ich Dir den Anfang:
[mm] \summe_{1 \le i, j \le n} [/mm] ( [mm] x_{i} [/mm] - [mm] x_{j} [/mm] ) ( [mm] y_{i} [/mm] - [mm] y_{j}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}( x_{i} [/mm] - [mm] x_{j} [/mm] ) ( [mm] y_{i}-y_{j})=\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}(x_iy_i-x_iy_j-x_jy_i+x_jy_j)= \summe_{i=1}^{n}[\summe_{j=1}^{n}x_iy_i-\summe_{j=1}^{n}x_iy_j-\summe_{j=1}^{n}x_jy_i+\summe_{j=1}^{n}x_jy_j]
[/mm]
Versuch jetzt mal weiterzumachen.
Ein Tip noch für Aufgabe B.: Verdeutliche Dir mal an einem Beispiel, was überhaupt gemeint ist!
Viel Erfolg!
Gruß v. Angela
>B. Aus [mm]x_{1} \le[/mm] . . . [mm]\le x_{n}[/mm] und [mm]y_{1} \le[/mm] . . .
> [mm]\le y_{n}[/mm] folgt
>
> ( (1/n) [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k}[/mm] ) ( (1/n)
> [mm]\summe_{k=1}^{n} y_{k}[/mm]
> ) [mm]\le[/mm] (1/n) [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}[/mm]
> .
>
> Gleichheit gilt genau dann, wenn [mm]x_{1}[/mm] = . . . = [mm]x_{n}[/mm]
> oder [mm]y_{1}[/mm] = . . . = [mm]y_{n}.[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 25.10.2005 | | Autor: | denwag |
hi, danke für die hilfe, aber sich seh da immer noch nicht richtig durch. kann mir jemand vielleicht noch etwas helfen?
danke schön
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> hi, danke für die hilfe, aber sich seh da immer noch nicht
> richtig durch. kann mir jemand vielleicht noch etwas
> helfen?
Wie weit bist Du denn gekommen? Welche konkreten Fragen hast Du?
Den Anfang hatte ich ja gemacht. Was ist denn
[mm] \summe_{j=1}^{n}x_iy_i [/mm] ?
[mm] \summe_{j=1}^{n}x_iy_j [/mm] ?
[mm] \summe_{j=1}^{n}x_jy_i [/mm] ?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Di 25.10.2005 | | Autor: | denwag |
hi,
zur ersten aufgabe habe ich:
aus ihrer letzten zeile habe ich als nächstes den IA: n=1.
[mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] ( ( [mm] x_{i} [/mm] * [mm] y_{i} [/mm] ) - ( [mm] x_{i} [/mm] * [mm] y_{1} [/mm] ) - ( [mm] x_{1} [/mm] * [mm] y_{i} [/mm] ) + ( [mm] x_{1} [/mm] * [mm] y_{1} [/mm] ) )
= ( [mm] x_{i} [/mm] * [mm] y_{i} [/mm] ) - ( [mm] x_{i} [/mm] * [mm] y_{1} [/mm] ) - ( [mm] x_{1} [/mm] * [mm] y_{i} [/mm] ) + ( [mm] x_{1} [/mm] * [mm] y_{1} [/mm] )
jetzt weiß ich nicht mehr was ich machen soll, oder bin ich das falsch angegangen?
danke schön.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Di 25.10.2005 | | Autor: | denwag |
sorry die letzte zeile lautet natürlich:
( [mm] x_{1} [/mm] * [mm] y_{1} [/mm] ) - ( [mm] x_{1} [/mm] * [mm] y_{1} [/mm] ) - ( [mm] x_{1} [/mm] * [mm] y_{1} [/mm] ) + ( [mm] x_{1} [/mm] * [mm] y_{1} [/mm] )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Di 25.10.2005 | | Autor: | denwag |
achso dafür bekomme ich ja am ende Null heraus oder?
kann ich jetzt die andere seite umformen und n=1 einsetzen?
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> achso dafür bekomme ich ja am ende Null heraus oder?
Ja. Wenn Du statt der i's Einsen stehen hättest...
> kann ich jetzt die andere seite umformen und n=1
> einsetzen?
Nimm die andere Seite und zeig, daß sie auch =0 ist. Dann sind beide seiten gleich und Du kannst weitermachen mit n [mm] \to [/mm] n+1.
Gruß v. Angela
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> hi,
> zur ersten aufgabe habe ich:
> aus ihrer letzten zeile habe ich als nächstes den IA:
> n=1.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{1}[/mm] ( ( [mm]x_{i}[/mm] * [mm]y_{i}[/mm] ) - ( [mm]x_{i}[/mm] * [mm]y_{1}[/mm] )
> - ( [mm]x_{1}[/mm] * [mm]y_{i}[/mm] ) + ( [mm]x_{1}[/mm] * [mm]y_{1}[/mm] ) )
>
> = ( [mm]x_{i}[/mm] * [mm]y_{i}[/mm] ) - ( [mm]x_{i}[/mm] * [mm]y_{1}[/mm] ) - ( [mm]x_{1}[/mm] *
> [mm]y_{i}[/mm] ) + ( [mm]x_{1}[/mm] * [mm]y_{1}[/mm] )
Wie bist Du denn von der ersten zur zweiten Zeile gekommen? Du hast einfach das Summenzeichen weggelassen!
Doch welche Anweisung steckt denn in [mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] ? Die, daß man für i 1 einsetzen soll. (Das Summieren fällt ja weg, weil man nur einen Summanden hat.)
Wenn Du das getan hast, mußt Du prüfen, ob's dasselbe ist wie
2( 1* [mm] \summe_{k=1}^{1}x_ky_k- (\summe_{k=1}^{1}x_k)(\summe_{k=1}^{1}y_k))
[/mm]
Danach könntest Du dann zu n [mm] \to [/mm] n+1 schreiten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:33 Mo 31.10.2005 | | Autor: | tom.bg |
erste teil diese aufgabe habe ich gemacht aber mit zweite weiss ichnicht was los ist, dh: habe ich IA und IV aber danach in IS für n=n+1 habe ich:
[mm] (\bruch{x_{n+1}}{n+1}+\summe_{k=1}^{n}\bruch{x_{k}}{n+1})\*(\bruch{y_{n+1}}{n+1}+\summe_{k=1}^{n}\bruch{y_{k}}{n+1})\le\summe_{k=1}^{n}\bruch{x_{k}\*y_{k}}{n+1}
[/mm]
naja... ich komme damit nicht klar linke seite ist für mich grösser als rechte
ps. sorry für mein deutsch- bin ausländer und danke für ev. hilfe
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> [mm](\bruch{x_{n+1}}{n+1}+\summe_{k=1}^{n}\bruch{x_{k}}{n+1})\*(\bruch{y_{n+1}}{n+1}+\summe_{k=1}^{n}\bruch{y_{k}}{n+1})\le\summe_{k=1}^{n}\bruch{x_{k}\*y_{k}}{n+1}[/mm]
> naja... ich komme damit nicht klar linke seite ist für
> mich grösser als rechte
Hallo,
kannst Du - am besten in einem neuen Strang - die Aufgabe aufschreiben, welche Du bearbeitest?
Es ist wohl doch eine andere als die von dewag, bei Dir gibt's ja die Doppelsummen gar nicht. Und bevor ich jetzt über das falsche nachdenke...
> ps. sorry für mein deutsch- bin ausländer und danke für ev.
> hilfe
Ich habe alles verstanden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Mo 31.10.2005 | | Autor: | tom.bg |
das ist dasselbe aufgabe wie bei dewag
1 teil:
Sei K ein angeordneter Körper. Für alle n $ [mm] \in [/mm] $ N und $ [mm] x_{1}, [/mm] $ . . . , $ [mm] x_{n}, y_{1}, [/mm] $ . . . , $ [mm] y_{n} \in [/mm] $ K ist zu zeigen
$ [mm] \summe_{1 \le i, j \le n} [/mm] $ ( $ [mm] x_{i} [/mm] $ - $ [mm] x_{j} [/mm] $ ) ( $ [mm] y_{i} [/mm] $ - $ [mm] y_{j} [/mm] $ ) = 2 ( n $ [mm] \summe_{k=1}^{n} x_{k} y_{k} [/mm] $ - ( $ [mm] \summe_{k=1}^{n} x_{k} [/mm] $ ) ( $ [mm] \summe_{k=1}^{n} y_{k} [/mm] $ ) ) .
MIT DIESEM IST ALLES OK
2 teil
Aus $ [mm] x_{1} \le [/mm] $ . . . $ [mm] \le x_{n} [/mm] $ und $ [mm] y_{1} \le [/mm] $ . . . $ [mm] \le y_{n} [/mm] $ folgt
( (1/n) $ [mm] \summe_{k=1}^{n} x_{k} [/mm] $ ) ( (1/n) $ [mm] \summe_{k=1}^{n} y_{k} [/mm] $
) $ [mm] \le [/mm] $ (1/n) $ [mm] \summe_{k=1}^{n} x_{k} y_{k} [/mm] $ .
Gleichheit gilt genau dann, wenn $ [mm] x_{1} [/mm] $ = . . . = $ [mm] x_{n} [/mm] $ oder $ [mm] y_{1} [/mm] $ = . . . = $ [mm] y_{n}. [/mm] $
habe ich so gemacht:
IA n=0 (steht doch für alle [mm] n\varepsilon \IN)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n} \* [/mm] $ [mm] \summe_{k=1}^{n} x_{k} [/mm] $= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{x_{k}}{n}
[/mm]
also für n=0 [mm] 0\*0=\*0
[/mm]
daraus folgt IV...
und in IS:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{x_{k}}{n+1}\* \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{y_{k}}{n+1} \le\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{x_{k}*y_{k}}{n+1}
[/mm]
nach umschreibung :
[mm] (\bruch{x_{n+1}}{n+1}+\summe_{k=1}^{n}\bruch{x_{k}}{n+1})*(\bruch{y_{n+1}}{n+1}+\summe_{k=1}^{n}\bruch{y_{k}}{n+1})\le\summe_{k=1}^{n}\bruch{x_{k}*y_{k}}{n+1} [/mm]
und plötzlich stimmt etwas nicht aber was ? alles habe ich doch richtig gemacht oder ich irre mich? keine ahnung
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> das ist dasselbe aufgabe wie bei dewag
> 1 teil:
> Sei K ein angeordneter Körper. Für alle n [mm]\in[/mm] N und
> [mm]x_{1},[/mm] . . . , [mm]x_{n}, y_{1},[/mm] . . . , [mm]y_{n} \in[/mm] K ist zu
> zeigen
>
> [mm]\summe_{1 \le i, j \le n}[/mm] ( [mm]x_{i}[/mm] - [mm]x_{j}[/mm] ) ( [mm]y_{i}[/mm] -
> [mm]y_{j}[/mm] ) = 2 ( n [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}[/mm] - (
> [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k}[/mm] ) ( [mm]\summe_{k=1}^{n} y_{k}[/mm] ) ) .
> MIT DIESEM IST ALLES OK
Hallo,
Achso, da gibt's noch einen zweiten Teil.
Gut. Der Teil1 ist also bereits von Dir gezeigt, d.h. wir können ihn nach Belieben verwenden.
Und das werden wir tun. Das ist Mathematikpsychologie. Bei Aufgaben mit Teil 1 und Teil 2 ist sehr oft Teil 2 eine Folge von Teil 1...
>
> 2 teil
>
> Aus [mm]x_{1} \le[/mm] . . . [mm]\le x_{n}[/mm] und [mm]y_{1} \le[/mm] . . . [mm]\le y_{n}[/mm]
> folgt
>
> ( (1/n) [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k}[/mm] ) ( (1/n) [mm]\summe_{k=1}^{n} y_{k}[/mm]
>
> ) [mm]\le[/mm] (1/n) [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}[/mm] .
>
> Gleichheit gilt genau dann, wenn [mm]x_{1}[/mm] = . . . = [mm]x_{n}[/mm]
> oder [mm]y_{1}[/mm] = . . . = [mm]y_{n}.[/mm]
>
>
Laß mich bevor es richtig losgeht noch ein paar Bemerkungen zu Deinen Induktionsversuchen für Teil 2 machen:
> habe ich so gemacht:
>
> IA n=0
Der Induktionsanfang für n=0 ist doch Unfug. Nirgendwo steht etwas davon, daß die Aussage für n=0 gelten soll. Verstehst Du? Nirgendwo kommt ein z.B. [mm] x_0 [/mm] vor und die Summation beginnt doch erst bei 1.
Und was sollte man mit n=0 in (1/n) [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k}[/mm] ) ( (1/n) [mm]\summe_{k=1}^{n} y_{k}[/mm] anfangen??? Da darf man es ja noch nicht einmal einsetzen!
Der Induktionsanfang wäre hier also bei n=1. (Es sind Aufgaben denkbar, bei denen der Induktionsanfang bei n= 237 wäre, weil erst ab 237 die Aussage gilt... Induktionsanfang also immer ab dem n, für das die Aussage gilt.)
> daraus folgt IV...
Nein, aus dem Induktionsanfang folgt nicht die Induktionsvoraussetzung.
Sondern man nimmt nun an, daß die zu beweisende Aussage richtig ist, und führt unter dieser Voraussetzung den Induktionsschluß durch.
> und in IS:
Im Induktionsschluß zeigt man, daß die Aussage dann auch für n+1 gilt, es ist also zu zeigen, daß
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{x_{k}}{n+1}\* \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{y_{k}}{n+1} \le\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{x_{k}*y_{k}}{n+1}[/mm]
gilt.
Aber Du darfst Dir nicht die Gleichung dahernehmen, und rechts und links ein bißchen umformen. Das bringt nichts.
Sondern nimm eine Seite, und manipulier die so lange (aber richtig!!!), bis Du stehen hast, was Du willst. Hier also
[mm][mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{x_{k}}{n+1}\* \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{y_{k}}{n+1} [/mm] =....=... [mm] \le....=...=\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{x_{k}*y_{k}}{n+1}.
[/mm]
So. Das war aber nur so nebenbei mehr Prinzipielles zur Induktion, weil es Dir vielleicht für andere Aufgaben etwas bringen könnte.
Wenden wir uns nun dem eigentlichen Problem zu, der Lösung der Aufgabe
>
> Aus [mm]x_{1} \le[/mm] . . . [mm]\le x_{n}[/mm] und [mm]y_{1} \le[/mm] . . . [mm]\le y_{n}[/mm]
> folgt
>
> ( (1/n) [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k}[/mm] ) ( (1/n) [mm]\summe_{k=1}^{n} y_{k}[/mm]
>
> ) [mm]\le[/mm] (1/n) [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}[/mm] .
>
> Gleichheit gilt genau dann, wenn [mm]x_{1}[/mm] = . . . = [mm]x_{n}[/mm]
> oder [mm]y_{1}[/mm] = . . . = [mm]y_{n}.[/mm]
Da brauchen wir gar keine Induktion!!!! Aufgepaßt:
Es ist doch
( (1/n) [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k}[/mm] ) ( (1/n) [mm]\summe_{k=1}^{n} y_{k}[/mm])= [mm] \bruch{1}{n^2}(\summe_{k=1}^{n} x_{k})(\summe_{k=1}^{n} y_{k})
[/mm]
Nun guck mal in Teil 1. Da kommt genau diese Summe vor, und wir können so umformen
[mm] ...=\bruch{1}{n^2}(n[/mm] [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}[/mm] - [mm] \bruch{1}{2}[/mm] [mm]\summe_{1 \le i, j \le n}[/mm] ( [mm]x_{i}[/mm] - [mm]x_{j}[/mm] ) ( [mm]y_{i}[/mm] - [mm]y_{j}[/mm] ))
Da sieht doch einiges schon verflixt ähnlich aus. Ein Tip noch: die Doppelsumme kannst Du Dir so aufteilen, daß Du einmal die Summen betrachtest mit i<j, die mit i=j und die mit j<i.
Ich hoffe, Du kommst so zum Ziel. Es geht.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:53 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Eine kurze Frage zum ersten Teil der Aufgabe. Muss ich die Gleichheit der beiden Terme durch Induktion beweisen oder reicht es, den Term umzuformen? Beim Umformen komme ich nämlich auf obigen Term, nur halt noch eben mit j und i statt k. Oder brauche ich die Induktion als Beweis dafür, dass ich das durch k ersetzen darf?
LG Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 04.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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