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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Di 12.05.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Zwischen den Wänden zweier konzentrisch angeordneter Rohre der Länge h und den Radien [mm] r_{1},r_{2} [/mm] befinden sich drei verschiedene Isolierstoffe mit einer Aufteilung in Längsrichtung. Die Anordnung trägt die Ladung Q.
(1.1) In Abhängigkeit von den Verschiebungsdichten [mm] \vec{D} [/mm] in den Isoliertstoffen ist eine Gleichung für die Ladung Q anzugeben. |
Hallo Community!
Folgenden Ansatz liefert die Musterlösung:
Bei radial geschichtetem Dielektrikum ist das D- Feld überall gleich groß, nicht aber das E- Feld. Da hier jedoch eine Schichtung in Längsrichtung vorliegt, ist es genau anders herum. Das E- Feld ist nun überall konstant, während, das D- Feld wiederum nicht.
Meine Frage
Wie kann ich mir diese beiden Fälle klar machen? Schön wäre neben einer kurzen rechnerischen Erklärung auch eine Erklärung, die man sich bildlich vor Augen führen kann.
Gemäß der Gleichung [mm] \vec{D}=\epsilon*\vec{E}, [/mm] die hier aufgrund der Isotropheit Anwendung findet, sind doch sowohl das E- Feld als auch das D- Feld jeweils voneinander abhängig, oder sehe ich das falsch? Daher kann ich die oben angedeutete Konstantheit nicht nachvollziehen.
Vielen Dank!
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
dieses Verhalten hängt damit zusammen, dass an einer Grenzfläche, die Gebiete mit unterschiedlichen Dielektrika voneinander trennt, die Normalkomponente der Erregung D gleich bleibt, also so etwas wie
$$ [mm] D_{1n} [/mm] = [mm] D_{2n} [/mm] $$ gilt, wohingegen sich die Tangentialkomponenten verhalten wie die Dielektrikagrößen, also
$$ [mm] \bruch{D_{1t}}{D_{2t}} [/mm] = [mm] \bruch{\epsilon_1}{\epsilon_2}\, [/mm] . $$
Für das E-Feld gilt dagegen die Gleichheit für die Tangentialkomponente
$$ [mm] E_{1t} [/mm] = [mm] E_{2t}\, [/mm] . $$
In Deinem Beispiel liegen die Dielektrika hintereinandergeschichtet in z-Richtung, beide Feldgrößen sind radial. Aus der letzten Gleichung zeigt sich die Aussage, da das E-Feld in z-Richtung in diesem Fall die Tangentialkomponente bildet und diese sich von Dielektrikum zu Dielektrikum nicht ändert.
Die Herleitung dieser Zusammenhänge ist mit einiger Rechnerei verbunden, in meinem kleinen E-Technik-Büchelchen gehen die Darstellungen und Rechnungen immerhin über 5 Seiten. Hintergrund der Rechnung ist die Tatsache, dass in einem elektrostatischen Feld jede Integration über die elektrische Feldstärke auf einem geschlossenen Weg Null ergeben muss (auch wenn der Weg durch Gebiete mit unterschiedlichem Epsilon geht) und dass das Hüllkurvenintegral über die Erregung D immer die eingeschlossene Ladung ergibt (auch wenn die Hüllkurve durch Gebiete mit unterschiedlichen Epsilon geht).
Male es Dir mal auf, und Du erkennst, dass Deine Musterlösung schon richtig ist, aber zugegebenermaßen etwas arg knapp formuliert ist.
Viele Grüße,
Infinit
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