Koeffizient, Fourierreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo zusammen!
In dem folgenden Ausschnitt einer Rechnung kann ich einen Schritt nicht nachvollziehen:
(1) [mm] \integral_{\varphi=0}^{\alpha}{\Phi_{0}*sin(\bruch{n\pi}{\alpha}\varphi){d\varphi}}=\summe_{m=1}^{\infty}b_{m}\rho_{0}^{\bruch{m\pi}{\alpha}}\underbrace{\integral_{\varphi=0}^{\alpha}{sin(\bruch{m\pi}{\alpha}\varphi)*sin(\bruch{n\pi}{\alpha}\varphi){d\varphi} }}_{\bruch{\alpha}{2}\delta_{m,n}}
[/mm]
(2) [mm] b_{n}=\bruch{2}{\alpha}\rho_{0}^{-\bruch{n\pi}{\alpha}}\integral_{\varphi=0}^{\alpha}{\Phi_{0}*sin(\bruch{n\pi}{\alpha}\varphi){d\varphi}}
[/mm]
Meine Frage:
Ich würde gerne wissen, warum man beim Übergang von Gleichung (1) nach Gleichung (2) das Summenzeichen einfach weglassen darf. Welche Rechenregel für Summen kommt hier zum Einsatz? Über einen hilfreichen Tipp würde ich mich freuen; vielen Dank.
Viele Grüße, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
der Grund für diese Vereinfachung ist in der geschweiften Unterklammer angedeutet. Dieses Integral liefert nur einen Beitrag, wenn m=n gilt. Das Ergebnis wird als [mm] \bruch{\alpha}{2} [/mm] bezeichnet und landet dann als Kehrwert auf der linken Seite der Gleichung.
Du kannst ja mal nachrechnen, ob dies stimmt:
Für [mm] |a| \neq |b| [/mm] gilt
[mm] \int \sin ax \sin bx \, dx = \bruch{\sin (a-b)x}{2(a-b)} - \bruch{\sin (a+b)x}{2(a+b) } [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Zunächst einmal vielen Dank für deine Antwort. Ja, das habe ich soweit verstanden. Trotzdem erkenne ich nicht, was mit dem Summenzeichen passiert. In der unteren Gleichung hat man alle m´s und n´s in n´s umgewandelt, um eben einen Wert [mm] \not= [/mm] 0 zu errechnen. Was aber passiert mit dem m in der unteren Grenze der Summe? Muss dieses m denn nicht auch mit übertragen werden? Wieso kommt es nicht zu einer Grenzwertberechnung der Reihe?
Viele Grüße, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Sa 14.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist
$ [mm] \integral_{\varphi=0}^{\alpha}{\Phi_{0}\cdot{}sin(\bruch{n\pi}{\alpha}\varphi){d\varphi}}=\summe_{m=1}^{\infty}b_{m}\rho_{0}^{\bruch{m\pi}{\alpha}}\underbrace{\integral_{\varphi=0}^{\alpha}{sin(\bruch{m\pi}{\alpha}\varphi)\cdot{}sin(\bruch{n\pi}{\alpha}\varphi){d\varphi} }}_{\bruch{\alpha}{2}\delta_{m,n}} =b_{n}\rho_{0}^{\bruch{n\pi}{\alpha}}\bruch{\alpha}{2}$,
[/mm]
da [mm] \delta_{m,n}=0 [/mm] für m [mm] \ne [/mm] n
FRED
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