Koeffizient & Leibnizkriterium < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A6
b)
Es gilt [mm] (1+x)^{\bruch{1}{3}} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{2}{6}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{2}{6} [/mm] * [mm] \bruch{5}{9} x^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{2}{6} [/mm] * [mm] \bruch{5}{9} [/mm] * [mm] \bruch{8}{12} x^4 \pm [/mm] ... ;
-1 < x < 1
Für welche dieser x lässt sich [mm] |(1+x)^{\bruch{1}{3}} [/mm] - (1 + [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{2}{6}x^2)| [/mm] mit dem Leibnizkriterium abschätzen und für welche davon ist der Betrag [mm] \le 10^{-3}?
[/mm]
Rechne Sie außerdem nach, dass der Koeffizient von [mm] x^3 [/mm] mit [mm] \vektor{\bruch{1}{3} \\ 3} [/mm] übereinstimmt.
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Den ersten Teil habe ich aufgelöst mittels Leibniz:
[mm] \varepsilon [/mm] = [mm] 10^{-3}
[/mm]
[mm] |(1+x)^{\bruch{1}{3}} [/mm] - (1 + [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{2}{6}x^2)| \le b_{k+1} \le \varepsilon
[/mm]
| [mm] b_{k+1} [/mm] | [mm] \le \varepsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{2}{6} [/mm] * [mm] \bruch{5}{9} x^3| \le \varepsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{5}{81}x^3| \le \varepsilon
[/mm]
| [mm] x^3 [/mm] | [mm] \le \bruch{81}{5} [/mm] * [mm] \varepsilon
[/mm]
x [mm] \le \wurzel[3]{\bruch{81}{5000}}
[/mm]
x [mm] \le [/mm] 0,2530297996
Soweit die Umstellung zum 1. Teil!
Nun: Rechne Sie außerdem nach, dass der Koeffizient von [mm] x^3 [/mm] mit [mm] \vektor{\bruch{1}{3} \\ 3} [/mm] übereinstimmt.
Hierbei stehe ich auf dem Schlauch!
1. Ich nehme an das dieser Koeffizient gemeint ist: [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{2}{6} [/mm] * [mm] \bruch{5}{9} x^3
[/mm]
2. [mm] \vektor{\bruch{1}{3} \\ 3} [/mm] ist doch [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] gemeint oder ? Habe ich mir aus der Binompyramide abgeleitet die ja auch mit [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] dargestellt werden kann!
Wenn dem so wäre so würde mir dazu nur folgende Formel einfallen:
[mm] \vektor{\bruch{1}{3} \\ 3} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)*k!}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{1}{3}!}{(\bruch{1}{3}-3)*3!}
[/mm]
Jedoch habe ich keine Idee, wie ich das berechnen sollte!
Wie kann ich dies nun nachweisen, das die Koeffizienten übereinstimmen ?
Ist die End - Schreibweise beim 1. Teil soweit korrekt oder muß ich noch aufrunden und nen größeres N angeben ? (Dies mußte ich bei anderen Aufgaben machen, jedoch würde ich hier höchstens n = 0,3 aufrunden)
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Dankeschön :)!
Ja die Binomische Reihe hatten wir, die habe ich irgendwie verdrängt!
Werd Sie mir nochmal ansehen denke damit sollte ich es gelöst bekommen! Da ich diese schon mal angewendet hatte!
Vielen Dank für die Links und die schnelle Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 21.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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