Koeffizienten Potenzreihe < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Koeffizienten der Potenzreihe [mm] f(x):=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n, [/mm] so dass für alle [mm] x\in \mathbb{R} [/mm] gilt:
f(x) [mm] \cdot [/mm] exp(x)=1 |
Bisher habe ich einen Ansatz verfolgt, der, wie ich denke, vollkommen irreführend war. Ich habe versucht, die Funktion [mm] g(x)=f(x)\cdot e^x [/mm] durch eine Taylorreihe auszudrücken und diese gleich 1 zu setzen. Dafür habe ich zunächst die n-te Ableitung berechnet:
[mm] \left(f(x) \cdot e^x\right)
[/mm]
[mm] =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}(x)(e^x)^{(n-k)}
[/mm]
[mm] =\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f^{(k)}e^x
[/mm]
Dieses Ergebnis habe ich in die Formel für die Taylorreihe eingesetzt. Ich komme auf das Ergebnis:
[mm] \sum_{k=0}^n 2^na_kx^k=1
[/mm]
Damit ließe sich ein Gleichungssystem aus n Gleichungen mit n Variablen aufstellen, jedoch ist das Ergebnis definitiv falsch (ich komme auf die Koeffizienten [mm] a_n=\frac{1}{2^n}).
[/mm]
Ich hoffe, dass was ich beschrieben habe ist in etwa einleuchtend. Es wäre schon recht hilfreich zu wissen, ob ich mich mit dem Ansatz völlig auf dem Holzweg befinde oder nicht.
Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
wenn [mm] $f(x)*e^x [/mm] = 1$ sein soll, dann muss folgerichtig $f(x) = [mm] e^{-x}$ [/mm] sein
Nun überleg dir mal, wie du [mm] e^{-x} [/mm] als Potenzreihe darstellen kannst.....
MFG,
Gono.
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Himmel hilf, bin ich blind gewesen. Damit bestimmen sich die Koeffizienten zu
[mm] a_k=\frac{(-1)^k}{k!}
[/mm]
Vielen Dank für die rasche Antwort.
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