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Koeffizienten berechnen: Idee fehlt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 So 07.01.2007
Autor: glueckszahl

Aufgabe
Ein Polynom vierten Grades besitzt bei  x = –1  eine Nullstelle und weist bei x = 0 und x = 2  zwei gleich hohe Maxima auf. Außerdem geht die Kurve durch den Punkt (1; 4).
Wie lautet die Funktionsgleichung des Polynoms?

Hallo,
ich komme nicht auf die erforderliche Anzahl an Gleichungen um die Aufgabe zu lösen.

Meine gegenwärtige Lösung:

Ansatz: f(x) = [mm] ax^{4} [/mm] + [mm] bx^{3} [/mm] + [mm] cx^{2} [/mm] + dx + e

A. f (-1) = 0
B. f (1) = 4
C. f' (0) = 0
D. f' (2) = 0
E. sonst haben die beiden Maxima gleiche y-Werte  ( wie kann ich diese Info interpretieren? )

Damit komme ich auf die folgenden Gleichungen:
aus A.  a - b - c - d + e = 0
aus B.  a + b +c +d +e = 0

aus C.  f' (x) = [mm] 4ax^{3} [/mm] + [mm] 3bx^{2} [/mm] + 2cx + d
f' (0) = 0 damit ergibt sich: d = 0
d = 0 wird in die Geilungen A und B eingesetzt.

aus D. f' (2) = 0  ergibt sich die Gleichung: 8a + 3b + c = 0


Damit habe ich nur drei Gleichungen aufgestellt, benötige aber noch eine um die Koeffizienten a,b,c, e zu lösen.

Vielen Dank für eure Hilfe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt


        
Bezug
Koeffizienten berechnen: tippfehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:44 So 07.01.2007
Autor: glueckszahl

richtig ist A. a - b + c -d +e = 0

Bezug
        
Bezug
Koeffizienten berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 So 07.01.2007
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

da du nicht nur einen Fehler gemacht hast, werde ich das mal nochmal ausführen :-)

> Ansatz: f(x) = [mm]ax^{4}[/mm] + [mm]bx^{3}[/mm] + [mm]cx^{2}[/mm] + dx + e

Stimmt.

  

> A. f (-1) = 0
>  B. f (1) = 4
>  C. f' (0) = 0
>  D. f' (2) = 0
>  E. sonst haben die beiden Maxima gleiche y-Werte  ( wie
> kann ich diese Info interpretieren? )
>  
> Damit komme ich auf die folgenden Gleichungen:
>  aus A.  a - b - c - d + e = 0

a - b + c - d + e = 0

>  aus B.  a + b +c +d +e = 0

a + b +c +d +e = 4

Weiterhin hattest du ja [mm]d=0[/mm] und [mm]8a + 3b + c= 0[/mm]

Bleibt noch der letzte Hinweis zu verbraten:

E: Beide Maxima haben die gleichen Werte, d.h.

[mm]f(0) = f(2)[/mm]

[mm] e = 16a + 8b +4c + e[/mm]

[mm] 4a + 2b +c = 0 [/mm]


Gruß,
Gono.



Bezug
                
Bezug
Koeffizienten berechnen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:29 So 07.01.2007
Autor: glueckszahl

Vielen herzlichen Dank, Gono für deine Hilfe. Die Lösung war mit deiner Korrektur und Idee perfekt.

Hier noch die Lösung für die Aufgabe:

f(x) = - [mm] \frac{1}{2}x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + [mm] \frac{9}{2} [/mm]

Bezug
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