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| Aufgabe | | Aufgabe: Wie lautet der Koeffizient von [mm] x^7 [/mm] in [mm] (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4 [/mm] |
Hallo !
Ich habe bzgl. der genannten Aufgabe eine kleine Frage.
Ich habe leider noch keinen Ansatz dafür, wäre über eine Hilfe dankbar !
Vielen DANK
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=409840
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Mo 01.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du kannst das ganze mit dem  binomischen Lehrsatz auflösen, du brauchst "nur" den passenden Binomialkoefizeinten herauszusuchen.
Marius
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Ok danke für den Hinweis. Ich bekomme es aber trotzdem noch nicht ganz hin auch wenn ich weiss dass es wahrscheinlich ziemlich einfach sein wird.
Ich habe eine andere Aufgabe, die sehr ähnlich ist und die ich auch verstehe:
Koeffizient bestimmen von [mm] x^9y^6 [/mm] in (x+y)^15.
Da lautet der Koeffizient : 15! / 9! * 6 !
Hmmm ich weiss nur nicht was ich mit der ^4 nach der Klammer mache.
Theoretisch müsste die Lösung doch dann irgendwie lauten:
xxxx/ 7! bezogen auf meine Aufgabe. Liege ich da richtig ? Wie komme ich nur auf die xxxx ?
Merci....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Do 04.02.2010 | | Autor: | gfm |
Es sollte doch eine Verallgemeinerung von Binomen auf Multinome geben.
Das müßten die Koeffizienten in der Form [mm] \bruch{N!}{\produkt_{i=1}^N n_i!} [/mm] mit [mm] \summe n_i=N [/mm] sein. Das würde ich mal googeln.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Do 04.02.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
[mm] $1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7$
[/mm]
ist ein wenig $sperrig$, macht nicht's.
[mm] $(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)*(1+x)=$
[/mm]
[mm] $1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+$
[/mm]
$\ \ \ [mm] x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8=$
[/mm]
[mm] $1+2x+2x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8$
[/mm]
[mm] $(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)*(1+x+x^2)=$
[/mm]
[mm] $1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+$
[/mm]
$\ \ \ [mm] x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+$
[/mm]
$\ \ \ \ \ \ [mm] x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9=$
[/mm]
[mm] $1+2x+3x^2+3x^3+3x^4+3x^5+3x^6+3x^7+2x^8+x^9$
[/mm]
usw.
[mm] $(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)*(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)=$
[/mm]
[mm] $1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5+7x^6+8x^7+\ \ldots\ +x^{14}$
[/mm]
und
[mm] $(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)*(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)*(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)=$
[/mm]
[mm] $1+3x+6x^2+10x^3+15x^4+21x^5+28x^6+36x^7+\ \ldots\ +x^{21}=$
[/mm]
[mm] $\frac{2*1}{2!}+\frac{3*2}{2!}x+\frac{4*3}{2!}x^2+\ \ldots\ \frac{9*8}{2!}x^7+\ \ldots\ +x^{21}$
[/mm]
und schließlich
[mm] $(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)*(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)*(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)*(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)=$
[/mm]
[mm] $1+4x+10x^2+20x^3+35x^4+56x^5+84x^6+120x^7+\ \ldots\ +x^{28}=$
[/mm]
[mm] $\frac{3*2*1}{3!}+\frac{4*3*2}{3!}x+\ \ldots\ +\frac{10*9*8}{3!}x^7+\ \ldots\ +x^{28}$
[/mm]
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:02 Do 04.02.2010 | | Autor: | Ironman2019 |
Hmmm also ausmultiplizieren geht sicher aber ich denke nicht dass das die Lösung ist ^^.
Also herauskommen soll 120, die wird ganz einfach zu berechnen sein.
Das kann doch nicht so schwer sein dass irgendwie einer die Lösung hier reinpostet wie man drauf kommt und dann fällts auch garantiert leicht (also mir) dann rückwärts herauszufinden wieso das so ist:)
Danke für dein Bemühen Karsten aber es gibt sicher eine VIIEEELLL einfachere Lösung die in 1 Min aufgeschrieben ist....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Do 04.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hmmm also ausmultiplizieren geht sicher aber ich denke
> nicht dass das die Lösung ist ^^.
> Also herauskommen soll 120, die wird ganz einfach zu
> berechnen sein.
> Das kann doch nicht so schwer sein dass irgendwie einer die
> Lösung hier reinpostet wie man drauf kommt und dann
> fällts auch garantiert leicht (also mir) dann rückwärts
> herauszufinden wieso das so ist:)
> Danke für dein Bemühen Karsten aber es gibt sicher eine
> VIIEEELLL einfachere Lösung die in 1 Min aufgeschrieben
> ist....
Mein lieber Mann,
Du bist vielleicht ein Rotzlöffel, mit einer doch sehr bescheidenen Erwatungshaltung.
Wenn alles so einfach ist, wie Du glaubst, warum machst Du es dann nicht selbst (aber länger als 1 Minute darfst Du nicht brauchen)
FRED
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:)
Nein ist ja alles ok, aber ich machs deswegen nicht selber bzw. ich komm nicht drauf weil ich im Bereich der Kombinatorik sauschlecht bin :)
Ich denke mal dass es für jemanden der fit in diesem Bereich ne absolute Kleinigkeit ist, denn in den alten Klausuraufgaben die ich gerade am Rechnen bin sind nur Aufgaben die mit richtigen Einsetzen der Werte sehr schnell gelöst sind, daher wird auch die easy sein, wie gesagt, wenn man davon etwas versteht....was ich nicht tu, daher stell ich ja die Frage ins Forum ;)
Ich will doch hier gar keinen angreifen und bin dankbar für jede Hilfe, würde mich nur freuen wenn man einfach kurz und knapp die Lösung mit ein oder zwei Zwischenschritten reinschreibt (zumindest derjenige der sie hat) und dann ist das in "Null Komma Nix" gelöst :)
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> :)
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> Nein ist ja alles ok, aber ich machs deswegen nicht selber
> bzw. ich komm nicht drauf weil ich im Bereich der
> Kombinatorik sauschlecht bin :)
> Ich denke mal dass es für jemanden der fit in diesem
> Bereich ne absolute Kleinigkeit ist, denn in den alten
> Klausuraufgaben die ich gerade am Rechnen bin sind nur
> Aufgaben die mit richtigen Einsetzen der Werte sehr schnell
> gelöst sind, daher wird auch die easy sein, wie gesagt,
> wenn man davon etwas versteht....was ich nicht tu, daher
> stell ich ja die Frage ins Forum ;)
> Ich will doch hier gar keinen angreifen und bin dankbar
> für jede Hilfe, würde mich nur freuen wenn man einfach
> kurz und knapp die Lösung mit ein oder zwei
> Zwischenschritten reinschreibt (zumindest derjenige der sie
> hat) und dann ist das in "Null Komma Nix" gelöst :)
Hi!
Nö. Wir sind keine Lösungsmaschine!
Es gibt den sogenannten Multinomialsatz:
[mm] $$\mbox{Für }r\in\IN,n\in\IN_{0}\mbox{ und alle komplexen Zahlen }x_{1},\dots,x_{r}\mbox{ gilt:}$$
[/mm]
[mm] $$\left(x_{1}+\dots+x_{r}\right)^n=\summe_{\left(k_{1},\dots,k_{r}\right)\in\IN_{0}^{(r)}\atop{k_{1}+\dots+k_{r}}=n}\frac{n!}{k_{1}!*\dots*k_{r}!}*x_{1}^{k_{1}}*\dots*x_{r}^{k_{r}}$$
[/mm]
Vielleicht hilft dir das,
Grüße, Stefan.
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Alles klar :)
Vielen Dank !!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Do 04.02.2010 | | Autor: | gfm |
Es geht auch so:
[mm] (\summe_{i=0}^N x^{i})^M=(\bruch{x^{N+1}-1}{x-1})^M
[/mm]
[mm] \gdw (x-1)^M(\summe_{i=0}^N x^{i})^M=(x^{N+1}-1)^M
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^M\vektor{M \\ i}x^i(-1)^{M-i}\summe_{j=0}^{MN}a_jx^j=\summe_{k=0}^{M}\vektor{M \\ k}x^{(N+1)k}(-1)^{M-k}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^M\summe_{j=0}^{MN}\vektor{M \\ i}x^{i+j}(-1)^{M-i}a_j=\summe_{l=0}^{M}\vektor{M \\ l}x^{(N+1)l}(-1)^{M-l}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{(N+1)M}x^k\summe_{j=Max(0,k-M)}^{Min(k,MN)}\vektor{M \\ k-j}(-1)^{M-(k-j)}a_j=\summe_{l=0}^{M}\vektor{M \\ l}x^{(N+1)l}(-1)^{M-l}
[/mm]
Betrachtet man bei einem Koeffizientenvergleich nun nur die k für die gilt
[mm] k\le [/mm] M [mm] \wedge [/mm] k<N+1 dann darf man schreiben
[mm] \summe_{j=0}^{k}\vektor{M \\ k-j}(-1)^{M-(k-j)}a_j=0
[/mm]
woraus folgt
[mm] a_0=1 [/mm] und für [mm] k\ge [/mm] 1
[mm] a_k+\summe_{j=0}^{k-1}\vektor{M \\ k-j}(-1)^{k-j}a_j=0
[/mm]
Wenn alles richtig ist, sollte man daraus in gegebenen Beispiel [mm] a_7 [/mm] berechnen können.
LG
gfm
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