Koeffizientenmatrix bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Di 16.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Funktion [mm] f_i: \IR \to \IR, [/mm] i= 1,...,4
[mm] \IR- [/mm] Vektorraum V ist [mm] V:= [/mm] und ein homomorphismus [mm] \phi:V\to [/mm] V mittels
[mm] \phi(f_1)= f_2
[/mm]
[mm] \phi(f_2)=f_3
[/mm]
[mm] \phi(f_3)=f_4
[/mm]
Die Menge [mm] {f_1,f_2,f_3} [/mm] linear unabhängig und es gelte die Gleichung
[mm] 0=2af_1+2bf_2+2cf_3-2f_4
[/mm]
Bestimmen Sie eine Basis [mm] B_v [/mm] von V und die Koeffizientenmatrix von [mm] \phi [/mm] bzgl. des Basispaares [mm] B_v,B_v [/mm] |
Hallo zusammen,
wollte folgende Aufgabe lösen aber ich komme einfach nicht auf die Koeffizientenmatrix von [mm] \phi.
[/mm]
Die soll wohl
[mm] \pmat{ 0 & 0 & a \\ 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & c }
[/mm]
was wurde denn hier gemacht?
gruß und danke!
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> Funktion [mm]f_i: \IR \to \IR,[/mm] i= 1,...,4
> [mm]\IR-[/mm] Vektorraum V ist [mm]V:=[/mm] und ein
> homomorphismus [mm]\phi:V\to[/mm] V mittels
> [mm]\phi(f_1)= f_2[/mm]
> [mm]\phi(f_2)=f_3[/mm]
> [mm]\phi(f_3)=f_4[/mm]
> Die Menge [mm]{f_1,f_2,f_3}[/mm] linear unabhängig und es gelte
> die Gleichung
> [mm]0=2af_1+2bf_2+2cf_3-2f_4[/mm]
> Bestimmen Sie eine Basis [mm]B_v[/mm] von V und die
> Koeffizientenmatrix von [mm]\phi[/mm] bzgl. des Basispaares [mm]B_v,B_v[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> wollte folgende Aufgabe lösen aber ich komme einfach nicht
> auf die Koeffizientenmatrix von [mm]\phi.[/mm]
> Die soll wohl
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & a \\ 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & c }[/mm]
> was wurde
> denn hier gemacht?
Hallo,
Dienst nach Vorschrift...
Dein Vektorraum wird erzeugt von den vier Vektoren [mm] f_1, f_2, f_3, f_4.
[/mm]
Sie sind also ein Erzeugendensystem von V.
Nun sollst Du eine Basis von V sagen. Nun, da lt. Voraussetzung [mm] (f_1, f_2, f_3) [/mm] linear unabhängig, und [mm] f_4 [/mm] offensichtlich eine Linearkombination der drei, ist das Angeben einer Basis [mm] B_v [/mm] doch nicht so schwer, oder?
Damit ich meinem Erklärzwang noch ein bißchen weiter nachgehen kann, verrate ich Dir schonmal, daß [mm] B_V:=(f_1, f_2, f_3) [/mm] eine Basis von V ist.
Nun sollst Du die Darstellungsmatrix (hier Koeffizientenmatrix genannt) von [mm] \phi [/mm] sagen.
Wie stellt man die auf: in den Spalten der Darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] stehen die Bilder der Basisvektoren von [mm] B_V [/mm] unter der Abbildung [mm] \phi [/mm] in Koordinaten bzgl [mm] B_V.
[/mm]
Die Bilder der Basisvektoren sind Dir bereits angegeben, was Dir bleibt ist, sie als Koordinatenvektoren bzgl. [mm] B_V [/mm] zu schreiben und sie dann nebeneinander als Spalten in eine matrix zu stellen.
Gruß v. Angela
>
> gruß und danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Di 16.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
sorry aber irgendwie hab ich das immer noch nicht so ganz gerafft...
also mir war schon klar, dass die Basis [mm] B_v={f_1,f_2,f_3} [/mm] ist und bzgl. dieser Basis muss ich ja jetzt die Koeffizientenmatrix aufstellen...
also erst muss ich doch den Homomorphismus auf die Basis anwenden:
[mm] \phi(f_1)= f_2
[/mm]
[mm] \phi(f_2)=f_3
[/mm]
[mm] \phi(f_3)=f_4
[/mm]
wie es halt schon in der Aufgabenstellung steht...
muss ich dann die Gleichung [mm] 0=2af_1+2bf_2+2cf_3-2f_4 [/mm] ins spiel bringen oder was?
aber trotzdem weiß ich nicht wie die einzelnen zeilen und spalten zustande kommen
[mm] \pmat{ 0 & 0 & a \\ 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & c }
[/mm]
was wurde z.b in der ersten zeile gemacht?
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> sorry aber irgendwie hab ich das immer noch nicht so ganz
> gerafft...
> also mir war schon klar, dass die Basis [mm]B_v={f_1,f_2,f_3}[/mm]
> ist und bzgl. dieser Basis muss ich ja jetzt die
> Koeffizientenmatrix aufstellen...
>
> also erst muss ich doch den Homomorphismus auf die Basis
> anwenden:
>
> [mm]\phi(f_1)= f_2[/mm]
> [mm]\phi(f_2)=f_3[/mm]
> [mm]\phi(f_3)=f_4[/mm]
> wie es halt schon in der Aufgabenstellung steht...
>
> muss ich dann die Gleichung [mm]0=2af_1+2bf_2+2cf_3-2f_4[/mm] ins
> spiel bringen oder was?
>
> aber trotzdem weiß ich nicht wie die einzelnen zeilen und
> spalten zustande kommen
Hallo,
da zitiere ich einfach mal mich selbst:
" Wie stellt man die [Darstellungsmatrix] auf: in den Spalten der Darstellungsmatrix von $ [mm] \phi [/mm] $ stehen die Bilder der Basisvektoren von $ [mm] B_V [/mm] $ unter der Abbildung $ [mm] \phi [/mm] $ in Koordinaten bzgl $ [mm] B_V. [/mm] $
Die Bilder der Basisvektoren sind Dir bereits angegeben, was Dir bleibt, ist, sie als Koordinatenvektoren bzgl. $ [mm] B_V [/mm] $ zu schreiben und sie dann nebeneinander als Spalten in eine Matrix zu stellen. "
Wie lautet denn der Vektor [mm] f_2 (=\phi (f_1)) [/mm] als Koordinatenvektor [mm] bzgl.(f_1, f_2, f_3)?
[/mm]
> muss ich dann die Gleichung [mm]0=2af_1+2bf_2+2cf_3-2f_4[/mm] ins
> spiel bringen oder was?
Ja. Sie sagt Dir, wie Du [mm] f_4 [/mm] als Linearkombination von [mm] (f_1. f_2,f_3) [/mm] schreiben kannst - und anschließend als Koordinatenvektor bzgl. dieser Basis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mi 17.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
oh man ich verstehs einfach nich...
also ich würde die Darstellungsmatrix so aufstellen:
[mm] \phi(f_1)= f_2 [/mm] = [mm] 0*f_1 [/mm] + [mm] 1*f_2 [/mm] + [mm] 0*f_3
[/mm]
[mm] \phi(f_2)=f_3 [/mm] = [mm] 0*f_1 [/mm] + [mm] 0*f_2 [/mm] + [mm] 1*f_3
[/mm]
[mm] \phi(f_3)=f_4 [/mm] = [mm] 0*f_1 [/mm] + [mm] 0*f_2 [/mm] + [mm] 0*f_3
[/mm]
und das ist ja falsch...
wenn ich dann die Gleichung betrachte
[mm] 0=2af_1+2bf_2+2cf_3-2f_4
[/mm]
[mm] 2f_4=2af_1+2bf_2+2cf_3
[/mm]
[mm] f_4=af_1+bf_2+cf_3
[/mm]
[mm] \phi(f_1)= f_2 [/mm] = [mm] 0*f_1 [/mm] + [mm] 1*f_2 [/mm] + [mm] 0*f_3 [/mm] +b
[mm] \phi(f_2)=f_3 [/mm] = [mm] 0*f_1 [/mm] + [mm] 0*f_2 [/mm] + [mm] 1*f_3 [/mm] +c
[mm] \phi(f_3)=f_4 [/mm] = [mm] 0*f_1 [/mm] + [mm] 0*f_2 [/mm] + [mm] 0*f_3
[/mm]
und das ist ja auch falsch...
ich weiß einfach nicht, wie ich diese Bilder mit der Basis darstellen soll
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> oh man ich verstehs einfach nich...
>
> also ich würde die Darstellungsmatrix so aufstellen:
>
> [mm]\phi(f_1)= f_2[/mm] = [mm]0*f_1[/mm] + [mm]1*f_2[/mm] + [mm]0*f_3[/mm][mm] =\vektor{0\\1\\0}_{(B_V)}
[/mm]
> [mm]\phi(f_2)=f_3[/mm] = [mm]0*f_1[/mm] + [mm]0*f_2[/mm] + [mm]1*f_3[/mm][mm] =\vektor{0\\0\\1}_{(B_V)}
[/mm]
> [mm]\phi(f_3)=f_4[/mm] = [mm]0*f_1[/mm] + [mm]0*f_2[/mm] + [mm]0*f_3[/mm]=
Hallo,
Quatsch, es ist doch
[mm]\phi(f_3)=f_4[/mm][mm] =af_1+bf_2+cf_3=\vektor{...\\...\\...}.
[/mm]
Ich habe Dir doch gesagt, was Du mit den Koordinatenvektoren machen sollst: als Spalten in eine Matrix stetllen, fertig.
Gruß v. Angela
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