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Koeffizientenvergleich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:36 Mo 12.05.2008
Autor: ebarni

Aufgabe
[mm] 4*\summe_{n=0}^{\infty}a_n*(n+\bruch{1}{2})*(n-\bruch{1}{2})*x^{n-\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] 2*\summe_{n=0}^{\infty}a_n*(n+\bruch{1}{2})*x^{n-\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n-1}*x^{n-\bruch{1}{2}} [/mm] = 0

Hallo zusammen,

im Skript steht:

Koeffizientenvergleich bei [mm] x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] ergibt [mm] a_0 [/mm] = 1

Das kann ich irgendwie nicht nachvollziehen.

Ich sehe hier, dass alle Summanden [mm] x^{n-\bruch{1}{2}} [/mm] haben, ich sie also irgendwie vergleichen kann. Aufallend ist noch, das die dritte Summe bei n=1 losgeht und den Koeffizienten [mm] a_{n-1} [/mm] besitzt.

Die beiden ersten Summen haben den Koeffizienten [mm] a_n. [/mm]

Ich habe schon probiert und n=0 eingesetzt, das hat mich aber irgendwie nicht zum Ziel [mm] a_0=1 [/mm] geführt.

Könnt ihr mir weiterhelfen? Das wäre wirklich super.

Viele Grüße, Andreas

        
Bezug
Koeffizientenvergleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:59 Mo 12.05.2008
Autor: MathePower

Hallo ebarni,

>
> [mm]4*\summe_{n=0}^{\infty}a_n*(n+\bruch{1}{2})*(n-\bruch{1}{2})*x^{n-\bruch{1}{2}}[/mm]
> +
> [mm]2*\summe_{n=0}^{\infty}a_n*(n+\bruch{1}{2})*x^{n-\bruch{1}{2}}[/mm]
> + [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n-1}*x^{n-\bruch{1}{2}}[/mm] = 0
>  Hallo zusammen,
>  
> im Skript steht:
>  
> Koeffizientenvergleich bei [mm]x^{-\bruch{1}{2}}[/mm] ergibt [mm]a_0[/mm] =
> 1
>  
> Das kann ich irgendwie nicht nachvollziehen.
>
> Ich sehe hier, dass alle Summanden [mm]x^{n-\bruch{1}{2}}[/mm]
> haben, ich sie also irgendwie vergleichen kann. Aufallend
> ist noch, das die dritte Summe bei n=1 losgeht und den
> Koeffizienten [mm]a_{n-1}[/mm] besitzt.
>  
> Die beiden ersten Summen haben den Koeffizienten [mm]a_n.[/mm]
>  
> Ich habe schon probiert und n=0 eingesetzt, das hat mich
> aber irgendwie nicht zum Ziel [mm]a_0=1[/mm] geführt.

Für n=0 steht hier die wahre Aussage 0=0.

Lautet die Formel nicht zufälligerweise so:

[mm]4*\summe_{n=0}^{\infty}a_n*(n+\bruch{1}{2})*(n-\bruch{1}{2})*x^{n\blue{+}\bruch{1}{2}} + 2*\summe_{n=0}^{\infty}a_n*(n+\bruch{1}{2})*x^{n-\bruch{1}{2}} + \summe_{n=1}^{\infty}a_{n-1}*x^{n-\bruch{1}{2}} = \blue{1}[/mm]

>  
> Könnt ihr mir weiterhelfen? Das wäre wirklich super.
>  
> Viele Grüße, Andreas

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Koeffizientenvergleich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:14 Mo 12.05.2008
Autor: ebarni

Hallo MathePower,

nein, leider nicht ;-)

Die Formel lautet tatsächlich so:

[mm] $4*\summe_{n=0}^{\infty}a_n*(n+\bruch{1}{2})*(n-\bruch{1}{2})*x^{n-\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] 2*\summe_{n=0}^{\infty}a_n*(n+\bruch{1}{2})*x^{n-\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n-1}*x^{n-\bruch{1}{2}} [/mm] = 0 $

Aber wie kommst Du bei n=0 auf 0=0?

Ich komme mit n=0 auf:

[mm] 4*a_0*(-\bruch{1}{4}) [/mm] + [mm] 2*a_0*(\bruch{1}{2}) [/mm] + [mm] a_0 [/mm] = 0

also:

[mm] -a_0 [/mm] + [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_0 [/mm] = 0 bzw. [mm] a_0 [/mm] = 0

Viele Grüße, Andreas

Bezug
                        
Bezug
Koeffizientenvergleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:03 Di 13.05.2008
Autor: leduart

Hallo
in der letzten Summe steht doch bei [mm] a_0 x^{1/2} [/mm] und nicht [mm] x^{-1/2} [/mm] wie in den anderen Summen. der Koeeffizientenvergleich geht aber nur für gleiche Exponenten von x!
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Koeffizientenvergleich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:59 Di 13.05.2008
Autor: ebarni

Hallo leduart, vielen Dank für Deine Antwort.

Ja, Du hast natürlich recht, wenn ich n=1 in der letzten Summe einsetze, bleibt $ [mm] a_0 x^{1/2} [/mm] $ stehen, das kann ich nicht mit in den Vergleich einbeziehen.

Dann bleibt also:

$ [mm] -a_0 [/mm] + [mm] a_0 [/mm] = 0 $ bzw. $ [mm] a_0 [/mm] = [mm] a_0 [/mm] $

Aber wie soll man da auf [mm] a_0 [/mm] = 1 kommen? [kopfkratz] Das kapier ich nicht....

Viele Grüße, Andreas

Bezug
                                        
Bezug
Koeffizientenvergleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Di 13.05.2008
Autor: leduart

Hallo
So wie deine summe da steht, wenn du keinen Fehler beim Abtippen gemacht hast (oder die Aufgabensteller!-frag nach!) kannst du [mm] a_0 [/mm] beliebig wählen, also auch [mm] a_0=1 [/mm] und dann weiter machen.
gruss leduart

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