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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 Mo 09.12.2013 | | Autor: | iehtz |
Hallo,
wir haben jetzt in der Linearen Algebra die Körper eingeführt und ich frage mich gerade, wie man damit die Wurzel begründet?
Also wenn jetzt $a [mm] \in [/mm] K$ sei mit [mm] $a^2 [/mm] = 1$, dann ist ja nach Schulwissen a = 1 oder a = -1.
Ich verstehe nicht, wie das die Körperaxiome begründen? Kann mir das jemand etwas klarer machen, wäre dankbar. :)
Grüße, iehtz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Di 10.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> wir haben jetzt in der Linearen Algebra die Körper
> eingeführt und ich frage mich gerade, wie man damit die
> Wurzel begründet?
> Also wenn jetzt [mm]a \in K[/mm] sei mit [mm]a^2 = 1[/mm], dann ist ja nach
> Schulwissen a = 1 oder a = -1.
> Ich verstehe nicht, wie das die Körperaxiome begründen?
> Kann mir das jemand etwas klarer machen, wäre dankbar. :)
genauso, wie man es in der Schule lernt. Man schreibt nur mit "allgemeineren
Symbolen":
Es ist
[mm] $a^2=1$
[/mm]
genau dann, wenn
[mm] $a^2+(-1)=1+(-1)$
[/mm]
bzw.
[mm] $a^2+(-(1^2))=0\,.$
[/mm]
(Begründung? Wofür steht hier [mm] $1\,,$ [/mm] wofür [mm] $0\,,$ [/mm] und was ist [mm] $-1\,$? [/mm] Letzteres
ist das additiv...)
Nun ist
[mm] $(a+1)*(a+(-1))=a^2+(-(1^2))$
[/mm]
(Warum? Beachte, dass da Wissen mit drinsteckt: [mm] $(-1)*a=-a\,,$ [/mm] d.h. multipliziert
man das additiv Inverse der Körper-Eins mit dem Körperelement [mm] $a\,,$ [/mm] so kommt
das additiv Inverse zu [mm] $a\,$ [/mm] raus. Das ist nichttrivial!)
Also gilt
[mm] $a^2=1$
[/mm]
[mm] $\iff$ $(a+1)*(a+(-1))=0\,.$
[/mm]
Da jeder Körper insbesondere nullteilerfrei ist...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:03 Di 10.12.2013 | | Autor: | iehtz |
> Es ist
>
> [mm]a^2=1[/mm]
>
> genau dann, wenn
>
> [mm]a^2+(-1)=1+(-1)[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]a^2+(-(1^2))=0\,.[/mm]
>
> (Begründung? Wofür steht hier [mm]1\,,[/mm] wofür [mm]0\,,[/mm] und was
> ist [mm]-1\,[/mm]? Letzteres
> ist das additiv...)
>
> Nun ist
>
> [mm](a+1)*(a+(-1))=a^2+(-(1^2))[/mm]
>
> (Warum? Beachte, dass da Wissen mit drinsteckt:
> [mm](-1)*a=-a\,,[/mm] d.h. multipliziert
> man das additiv Inverse der Körper-Eins mit dem
> Körperelement [mm]a\,,[/mm] so kommt
> das additiv Inverse zu [mm]a\,[/mm] raus. Das ist nichttrivial!)
>
> Also gilt
>
> [mm]a^2=1[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm](a+1)*(a+(-1))=0\,.[/mm]
>
> Da jeder Körper insbesondere nullteilerfrei ist...
Danke für die Antwort, das ging mir jedoch etwas zu schnell.
Ich versuche es einmal zu rekapitulieren.
Voraussetzung: Es sei $a [mm] \in [/mm] K$, mit $K$ Körper und [mm] $a^2=1$
[/mm]
Behauptung: $a = 1$ oder $a=-1$
Beweis: Es ist $-1$ das additiv Inverse zu [mm] $a^2$ [/mm] und 1, da nach Vor. [mm] $a^2=1$ [/mm] gilt.
Also ist
[mm] $a^2=1 \gdw a^2+(-1)=1+(-1)$ [/mm]
Dann gilt weiterhin, dass
[mm] $a^2+(-(1^2)=0$ [/mm] ist.
Wobei:
$0$ für das neutrale Elemente zur Addition für $1+(-1)$ steht,
$1$ für das neutrale Elemente zur Multiplikation für [mm] $1*1_K=1^2$ [/mm] steht und
$-1$ das additiv Inverse zu [mm] $a^2$ [/mm] ist.
Den nächsten Schritt verstehe ich nicht ganz. Hier werden die binomischen Formeln angewand, aber darf ich das denn einfach auf Körper übertragen oder wie wird das begründet?
[mm] $a^2+(-(1^2) [/mm] = (a+1)*(a+(-1))$
Mit [mm] $a^2+(-(1^2)=0$ [/mm] gilt dann $(a+1)*(a+(-1))=0$
Damit ist
[mm] $a^2=1$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$(a+1)*(a+(-1))=0$
Folglich ist $a=1$ oder $a=-1$, das sehe ich jetzt.
Die Begründung, da jeder Körper Nullteilerfrei ist, ist mir jedoch nicht so ganz klar. Ich bin mir nicht sicher, ob wir das in unserer Vorlersung überhaupt definiert oder bewiesen haben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Di 10.12.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> > Es ist
> >
> > [mm]a^2=1[/mm]
> >
> > genau dann, wenn
> >
> > [mm]a^2+(-1)=1+(-1)[/mm]
> >
> > bzw.
> >
> > [mm]a^2+(-(1^2))=0\,.[/mm]
> >
> > (Begründung? Wofür steht hier [mm]1\,,[/mm] wofür [mm]0\,,[/mm] und was
> > ist [mm]-1\,[/mm]? Letzteres
> > ist das additiv...)
> >
> > Nun ist
> >
> > [mm](a+1)*(a+(-1))=a^2+(-(1^2))[/mm]
> >
> > (Warum? Beachte, dass da Wissen mit drinsteckt:
> > [mm](-1)*a=-a\,,[/mm] d.h. multipliziert
> > man das additiv Inverse der Körper-Eins mit dem
> > Körperelement [mm]a\,,[/mm] so kommt
> > das additiv Inverse zu [mm]a\,[/mm] raus. Das ist
> nichttrivial!)
> >
> > Also gilt
> >
> > [mm]a^2=1[/mm]
> >
> > [mm]\iff[/mm] [mm](a+1)*(a+(-1))=0\,.[/mm]
> >
> > Da jeder Körper insbesondere nullteilerfrei ist...
>
>
> Danke für die Antwort, das ging mir jedoch etwas zu
> schnell.
> Ich versuche es einmal zu rekapitulieren.
>
> Voraussetzung: Es sei [mm]a \in K[/mm], mit [mm]K[/mm] Körper und [mm]a^2=1[/mm]
> Behauptung: [mm]a = 1[/mm] oder [mm]a=-1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beweis: Es ist [mm]-1[/mm] das additiv Inverse zu [mm]a^2[/mm] und 1, da
> nach Vor. [mm]a^2=1[/mm] gilt.
>
> Also ist
>
> [mm]a^2=1 \gdw a^2+(-1)=1+(-1)[/mm]
>
> Dann gilt weiterhin, dass
>
> [mm]a^2+(-(1^2)=0[/mm] ist.
> Wobei:
> [mm]0[/mm] für das neutrale Elemente zur Addition für [mm]1+(-1)[/mm]
> steht,
> [mm]1[/mm] für das neutrale Elemente zur Multiplikation für
> [mm]1*1_K=1^2[/mm] steht und
> [mm]-1[/mm] das additiv Inverse zu [mm]a^2[/mm] ist.
>
> Den nächsten Schritt verstehe ich nicht ganz. Hier werden
> die binomischen Formeln angewand, aber darf ich das denn
> einfach auf Körper übertragen oder wie wird das
> begründet?
Die binomischen Formeln gelten wegen dem Distributivgesetz und
der Kommutiviität der Addition und der Multiplikation.
>
> [mm]a^2+(-(1^2) = (a+1)*(a+(-1))[/mm]
>
> Mit [mm]a^2+(-(1^2)=0[/mm] gilt dann [mm](a+1)*(a+(-1))=0[/mm]
>
> Damit ist
>
> [mm]a^2=1[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm](a+1)*(a+(-1))=0[/mm]
>
> Folglich ist [mm]a=1[/mm] oder [mm]a=-1[/mm], das sehe ich jetzt.
> Die Begründung, da jeder Körper Nullteilerfrei ist, ist
> mir jedoch nicht so ganz klar. Ich bin mir nicht sicher, ob
> wir das in unserer Vorlersung überhaupt definiert oder
> bewiesen haben.
Aus nullteilerfrei, folgt a+1 = 0 [mm] $\vee$ [/mm] a+(-1) = 0.
Nullteilerfrei heißt, ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
Falls in der Vorlesung noch nicht vorgekommen, kannst du nullteilerfrei
aus den Axiomen für Körper herleiten.
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Di 10.12.2013 | | Autor: | iehtz |
Danke für die Antwort meili, damit ist das Thema geklärt. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Di 10.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo iehtz,
ein kleine Ergänzung noch:
> Den nächsten Schritt verstehe ich nicht ganz. Hier werden
> die binomischen Formeln angewand, aber darf ich das denn
> einfach auf Körper übertragen oder wie wird das
> begründet?
>
> [mm]a^2+(-(1^2) = (a+1)*(a+(-1))[/mm]
eigentlich ist das hier auch so, wie man es in der Schule lernt (lernen sollte):
Wenn man die binomischen Formeln hat:
[mm] $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,,$
[/mm]
[mm] $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,,$
[/mm]
[mm] $(a+b)(a-b)=a^2-b^2\,,$
[/mm]
so ist die einzige Kunst, diese Gleichungen von rechts nach links zu
erkennen.
Rechne mal im Körper nach:
[mm] $(a+b)*(a-b)=a^2-b^2\,.$
[/mm]
Dabei ist
[mm] $a-b=a+(-b)\,,$ [/mm] wobei [mm] $-b\,$ [/mm] das additiv Inverse zu [mm] $b\,$ [/mm] bezeichnet.
Weiter ist
[mm] $a^2=a*a\,,$ $-b^2=-(b*b)\,.$
[/mm]
Übrigens: In jedem Körper gilt
![[]](/images/popup.gif) der binomische Lehrsatz
(der gilt ja sogar schon in kommutativen Ringen mit Eins).
Aber nur, damit Du siehst, dass hier wenig Zauberei im Spiel ist:
Ich beweise mal
[mm] $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,.$
[/mm]
Es gilt
[mm] $(a-b)^2=(a-b)*(a-b)=(a+(-b))*(a+(-b))=...\,,$
[/mm]
bis dahin ist das alles rein per Definitionem. Nun gilt das Distributivgesetz,
also geht's etwa weiter mit
$...=a*(a+(-b))+(-b)*(a+(-b))=...$
und wieder mit Distributivität folgt
[mm] $...=a*a+a*(-b)+(-b)*a+(-b)*(-b)\,.$
[/mm]
(Eigentlich habe ich hier auch Assoziativität mitbenutzt - ist Dir klar, wo die
eine Rolle spielt?)
In einem Körper kann man nun beweisen, dass
[mm] $r*(-s)=-(r*s)\,,$
[/mm]
und
[mm] $-r=(-1)*r\,,$
[/mm]
also
[mm] $r*(-s)=(-1)*(r*s)\,.$
[/mm]
Zudem läßt sich (mit [mm] $1=1_K\,,$ [/mm] wie oben)
[mm] $(-1)*(-1)=1\,$
[/mm]
nachweisen. Also kann man oben weiterrechnen (auch Kommutativität der
Multiplikation beachten - siehe 3er Summand!):
[mm] $...=a^2+(-1)*(a*b)+(-1)*(a*b)+(-1)*((-b)*b)=a^2+(-1)*(a*b+a*b)+(-1)*(b*(-b))$
[/mm]
[mm] $=a^2+(-\{2(ab)\})+((-1)*(-1))*(b*b)=a^2+(-\{2(ab)\})+b^2\,.$
[/mm]
Um jetzt wirklich die gewünschte Form hier zu erkennen, sollte man
vielleicht nochmal kurz nachschlagen, wie für $x [mm] \in [/mm] K$ und $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] denn
[mm] $n*x\,$
[/mm]
definiert wird - und wie man entsprechend dann für $z [mm] \in \IZ$ [/mm] auch
[mm] $z*x\,$
[/mm]
durch eine entsprechende Definition erweitert.
Denn natürlich kann man sich "dann" ein wenig drum streiten, ob [mm] $-2ab\,$ [/mm] als
[mm] $-2ab=-(2(ab))=-(ab+ab)\,$
[/mm]
oder als
[mm] $(-2)*(ab)=2*(-(ab))=(-(ab))+(-(ab))\,$
[/mm]
verstanden werden soll.
Ich sehe die erste Variante als die "natürlichere", und damit wäre oben
auch alles gezeigt. Im Endeffekt ist es aber auch egal, wenn man sich
dann mit entsprechenden Rechenregeln beschäftigt. So gilt dann etwa
auch:
[mm] $2ab=ab+ab=(a+a)b=(2a)b\,,$
[/mm]
oder
[mm] $2ab=ab+ab=a(b+b)=a(2b)\,,$
[/mm]
...
(beachte, dass da etwas "passiert" - und hier ist $2=2 [mm] \in \IN$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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