Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 So 07.05.2006 | | Autor: | delay |
| Aufgabe | Ergänzen Sie die folgenden Verknüpfungstafeln so, dass ein Körper mit der Additionsverknüpfung [mm] \circ [/mm] und der Multiplikationsverknüpfung * ensteht.
[mm] \circ [/mm] | a b c d e
a | d ? a ? ?
b | ? a b ? d
c | ? ? c ? ?
d | b c d ? a
e | ? ? e ? ?
* | a b c d e
a | ? b ? ? e
b | ? ? ? a ?
c | ? ? ? ? ?
d | d ? ? ? ?
e | ? d ? ? a |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
diese Aufgabe sollen wir lösen.
Leider bin ich mir ein wenig unsicher, wie ich am besten rangehen soll.
Die Additionstafel sieht bei mir so aus:
[mm] \circ [/mm] | a b c d e
a | d e a b c
b | e a b c d
c | a b c d e
d | b c d e a
e | c d e a b
Stimmt die Additionstafel?
Ist das neutrale Element in dem Fall c?
Bei der Multiplikationstabelle weiß ich nicht mehr weiter. Es wäre super wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Danke und viele Grüße
Markus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Markus!
> Ergänzen Sie die folgenden Verknüpfungstafeln so, dass ein
> Körper mit der Additionsverknüpfung [mm]\circ[/mm] und der
> Multiplikationsverknüpfung * ensteht.
>
> [mm]\circ[/mm] | a b c d e
> a | d ? a ? ?
> b | ? a b ? d
> c | ? ? c ? ?
> d | b c d ? a
> e | ? ? e ? ?
>
> * | a b c d e
> a | ? b ? ? e
> b | ? ? ? a ?
> c | ? ? ? ? ?
> d | d ? ? ? ?
> e | ? d ? ? a
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> diese Aufgabe sollen wir lösen.
> Leider bin ich mir ein wenig unsicher, wie ich am besten
> rangehen soll.
Es gibt genau eine Gruppe der Ordnung 5, naemlich eine zyklische.
Weiterhin: Ist $K$ ein Koerper mit 5 Elementen, so ist die multiplikative Struktur schon eindeutig durch die additive Struktur bestimmt: Die additive Gruppe muss zyklisch sein und wird erzeugt durch jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$. Nun ist $1 [mm] \neq [/mm] 0$, womit jedes Element $k [mm] \in [/mm] K$ von der Form $1 + 1 + [mm] \dots [/mm] + 1$ ist (mit einer passenden Zahl von Summanden). Durch Ausnutzen des Distributivgesetztes kann man also $k [mm] \cdot [/mm] k'$ berechnen fuer alle $k, k' [mm] \in [/mm] K$, indem man nur die additive Gruppe benutzt.
(Der Koerper ist uebrigens [mm] $\IF_5 [/mm] = [mm] \IZ/5\IZ$.)
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
* | a b c d e
a | a b c d e
b | b e c a d
c | c c c c c
d | d a c e b
e | e d c b a
|
|
|
|
