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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mo 07.08.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) es bildet [mm] \IF_{9} := \IF_{3}[X]/(X^2+1) \IF_{3}[X][/mm] einen Körper mit 9 Elementen.
Im Folgenden bezeichne [mm] \alpha :=[X]=X+(X^2+1) \IF_{3}[/mm] die Restklasse von X.
b) Es ist [mm]\phi(z_1*z_2)=\phi(z_1)*\phi(z_2)[/mm] für alle [mm]z_1,z_2 \in \IF_{9}[/mm].
c) Finden Sie das kleinste m>0 mit [mm](1+ \alpha)^m=1[/mm]. |
Hallo alle zusammen,
also bei dieser Aufgabe da habe ich ja so meine Probleme. Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
Bei a) weiß ich nicht wie ich's machen soll, hab auch keinen vernüftigen Ansatz gefunden.
Bei b) habe ich gesagt, ich setzte [mm]z_1 := x+y \alpha[/mm] und [mm]z_2 := x'+y' \alpha[/mm]. Also habe ich dann für [mm]\phi(z_1*z_2) = \phi(( x+y \alpha)* (x'+y' \alpha)) = \phi(xx'+xy' \alpha +x'y \alpha + yy' \alpha^2)[/mm]
Da ich an dieser Stelle erstmal nicht weiter kam habe ich mir [mm])\phi(z_1)*\phi(z_2)[/mm] angeschaut und dies hier herausbekommen:
[mm])\phi(z_1)*\phi(z_2) = \phi(x+y \alpha)*\phi(x'+y' \alpha) = \pmat{ x & y \\ -y & x }* \pmat{ x' & y' \\ -y' & x' } = \pmat{ xx'-yy' & xy'+x'y \\ -x'y-xy' & xx'-yy' }[/mm].
Ich habe mir das angeschaut und wenn jetzt das [mm]\alpha^2 =-1[/mm] ist, dann komme ich auch auf die Aussage. Mein Problem ist aber, dass ich [mm]\alpha^2[/mm] nicht gezeigt bekomme. Wo habe ich den Fehler bzw. wie sieht [mm]\alpha[/mm] genau aus (ein Elemnt daraus), vielleicht mache ich da ja den Fehler?! Oder wie kann ich zeigen, dass [mm]\alpha^2 =-1[/mm] gilt?
Bei c) habe ich auch keine Ahnung. Ein Tipp/Idee wäre was Feines ;)
Vielen Dank im voraus
LG Elbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mo 07.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Christa,
in a) mußt du nur zeigen, daß das Polynom [mm] X^{2} [/mm] + 1 über [mm] \IF_{3} [/mm] irreduzibel ist. Dann hast du einen endlichen Integritätsring, und der ist automatisch ein Körper. Irreduzibel ist das Polynom, weil es keine Nullstelle hat.
b) verstehe ich im Moment nicht, wo kommt [mm] \phi [/mm] her?
c) Die multiplikative Gruppe des Körpers hat 8 Elemente.
Es ist (1 + [mm] \alpha)^{2} [/mm] = 1 + [mm] 2\alpha [/mm] + [mm] \alpha^{2} [/mm] = [mm] 2\alpha
[/mm]
(1 + [mm] \alpha)^{3} [/mm] = [mm] 2\alpha(1 [/mm] + [mm] \alpha) [/mm] = [mm] 2\alpha [/mm] + [mm] 2\alpha^{2} [/mm] = [mm] 2\alpha [/mm] + 1
(1 + [mm] \alpha)^{4} [/mm] = [mm] (2\alpha)^{2} [/mm] = [mm] 4\alpha^{2} [/mm] = 1*(-1) = -1
Dann ist (1 + [mm] \alpha)^{8} [/mm] = 1, und das ist der kleinste Exponent.
Ist das soweit schon verständlich?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mo 07.08.2006 | | Autor: | Elbi |
Oh ich bin schusselig. Also [mm]\phi][/mm] ist natürlich auch gegeben, tschuldigung.
[mm]\phi : \IF_{9} \to \IF_{3}^{2 \times2} , x+y \alpha \mapsto \pmat{ x & y \\ -y & x }[/mm]
So, ich glaub' jetzt wird es klarer, was ich meinte und ganz D I C K E S Dankeschön für die schnelle Antwort!!!
LG Elbi
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