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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 09:31 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Wanja |
Es sei K ein Körper, 0 die Null und 1 die Eins von K.
Im Allgemeinen ist die Menge [mm] \IN \circ= \{0,1,2,...\} [/mm] nicht in K enthalten! Es wird zu jedem [mm] n\in\IN \circ [/mm] für jedes [mm] a\in [/mm] K das natürliche Vielfache [mm] n\times [/mm] a, das n-fache von a, definiert:
0 [mm] \times [/mm] a:=0
n [mm] \times [/mm] a:=((n-1) [mm] \times [/mm] a) [mm] \pm [/mm] a für n=1,2,3,...
Man beweise:
a)Ist [mm] a\in [/mm] K und [mm] n\in\IN \circ [/mm] , so ist [mm] -(n\times a)=n\times(-a)
[/mm]
b)Sind [mm] a,b\in [/mm] K und ist n [mm] \in\IN \circ, [/mm] so ist [mm] n\times(a\pm b)=(n\times a)\pm(n\times [/mm] b)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Di 09.11.2004 | | Autor: | Wanja |
Ist die Aufgabe zu leicht oder zu schwer????? Mein Problem ist eigentlich nur, dass ich nicht weiß wie ich mit diesem Zeichen [mm] "\times" [/mm] umgehen kann bzw. darf und deswegen komm ich nicht dorthin wo ich hin will. Darf ich es wie ein "mal" benutzen? Welche Operationen sind damit erlaubt??
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Hallo Wanja!
Das [mm] $\times$ [/mm] ist sehr suggestiv - die Definition ist ja
$n [mm] \times [/mm] a = [mm] \underbrace{a + \ldots + a}_{n \mbox{ mal}}$
[/mm]
Man kann dies natürlich schön rekursiv definieren.
Und diese rekursive Definition kannst Du Dir zunutze machen! Beweise per Induktion nach $n$:
Zu zeigen: $-(n [mm] \times [/mm] a) = n [mm] \times [/mm] (-a)$
Induktion nach $n$. Für $n = 0$ gilt:
$- (0 [mm] \times [/mm] a) = - 0 = 0 [mm] \times [/mm] (-a)$.
Paßt also. 
Sei $n > 0$ und die Aussage also für alle $k < n$ gezeigt. Dann gilt:
$- (n [mm] \times [/mm] a) = - ((n - 1) [mm] \times [/mm] a) + a) = (- (n-1) [mm] \times [/mm] a) + (-a) = (n-1) [mm] \times [/mm] (-a) + (-a) = n [mm] \times [/mm] (-a)$
Wo genau die Induktionsvoraussetzung eingeht, überlasse ich Dir, ebenso wie die Aufgabe b).
Viel Erfolg!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Wanja |
Ich bin sehr froh, dass mir noch jemand geantwortet hat. Danke!!! Ich hatte die Hoffnung schon fast aufgegeben.
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