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| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie den kleinsten Körper K [mm] \subset \IC [/mm] der neben Q auch [mm] \wurzel{3} [/mm] und −i enthält. (dabei gelte [mm] i^2 [/mm] = −1). Zeigen Sie sowohl, dass die von Ihnen gefundene Menge mit den
Standard-Verknüpfungen ein Körper ist, als auch, dass es der kleinste Körper mit diesen Eigenschaften ist. |
| Aufgabe 2 | Bezeichne
[mm] \IR(x) [/mm] := {f : [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] mit f(x) [mm] =\bruch{g(x)}{h(x)} [/mm] mit g, h sind Polynomabbildungen mit [mm] h\not= [/mm] 0}
Zeigen Sie, dass [mm] \IR(x) [/mm] zusammen mit der punktweisen Addition und Multiplikatuion von Funktionen einen Körper bilden. Sie dürfen dabei ignorieren, dass die Funktionen aus [mm] \IR(x) [/mm] eventuell an endlich vielen Stellen nicht definiert sind. |
Ich muss diese Aufgaben bis Freitag lösen und ich hab absolut keinen Plan wie ich das mache. Mir fehlt sogar die Idee wie ich anfange. Kann mir vllt jemand helfen und mir nen Schups geben? Danke im vorraus
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> Bestimmen Sie den kleinsten Körper K [mm]\subset \IC[/mm] der neben
> Q auch [mm]\wurzel{3}[/mm] und −i enthält. (dabei gelte [mm]i^2[/mm] =
> −1). Zeigen Sie sowohl, dass die von Ihnen gefundene
> Menge mit den
> Standard-Verknüpfungen ein Körper ist, als auch, dass es
> der kleinste Körper mit diesen Eigenschaften ist.
> Bezeichne
> [mm]\IR(x)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {f : [mm]\IR \rightarrow \IR[/mm] mit f(x)
> [mm]=\bruch{g(x)}{h(x)}[/mm] mit g, h sind Polynomabbildungen mit
> [mm]h\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0}
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\IR(x)[/mm] zusammen mit der punktweisen
> Addition und Multiplikatuion von Funktionen einen Körper
> bilden. Sie dürfen dabei ignorieren, dass die Funktionen
> aus [mm]\IR(x)[/mm] eventuell an endlich vielen Stellen nicht
> definiert sind.
> Ich muss diese Aufgaben bis Freitag lösen und ich hab
> absolut keinen Plan wie ich das mache. Mir fehlt sogar die
> Idee wie ich anfange. Kann mir vllt jemand helfen und mir
> nen Schups geben? Danke im vorraus
Hallo,
dadurch, daß Du wirklich keinerlei Spur irgendwelcher eigener Überlegungen preisgibst, machst Du es Leuten, die im Prinzip willens und in der Läge wären, Dir zu helfen, sehr schwer. Du merkst das auch daran, daß es doch vergleichsweise lange gedauert hat, bis die erste Reaktion gekommen ist.
Der Abgabetermin ist für Dich wichtig, klar. Uns interessiert er im Grunde nicht.
Uns, die wir Dir helfen wollen, interessiert hingegen sehr, an welcher Stelle Dein Problem mit der Aufgabe liegt.
zu Aufgabe 2:
Wenn man zeigen soll, daß irgendwas einen Körper bildet, dann muß man halt die Bedingungen für "Körper" (welche sind das?) eine nach der anderen abarbeiten.
Wichtig ist, daß man sich zuerst klarmacht, mit welcher Menge man es zu tun hat. Deine Menge [mm] \IR(x) [/mm] enthält Abbildungen, die von einer bestimmten Machart sind, nämlich Quotienten von Polynomabbildungen.
Weiter ist wichtig, daß man die Verknüpfungen klärt. Es steht dort: "zusammen mit der punktweisen Addition und Multiplikation von Funktionen".
Wie sind diese beiden Verknüpfungen denn definiert?
Das sind die Vorarbeiten, danach kann's losgehen. Fang mal an und zeig uns ein bißchen was.
zu Aufgabe 1:
Das [mm] \IQ [/mm] mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation ein Körper ist, ist Dir bekannt. Dieser Körper wird nun erweitert um die Zahlen $ [mm] \wurzel{3} [/mm] $ und -i.
[mm] \IQ \cup\{ \wurzel{3}, -i\} [/mm] ist aber kein Körper. Warum nicht?
Suchen sollst Du nun den kleinsten Körper, der neben [mm] \IQ [/mm] auch $ [mm] \wurzel{3} [/mm] $ und -i enthält.
Überleg Dir dazu erstmal, von welcher "Bauart" seine Elemente sein müssen.
Daß jetzt nämlich neben [mm] \IQ [/mm] auch $ [mm] \wurzel{3} [/mm] $ und -i enthalten sind, hat Folgen: beispielsweise müssen in dem gesuchten Körper zwingend auch [mm] 1+\wurzel{3} [/mm] sowie [mm] -i*\bruch{7}{4711} [/mm] enthalten sein.
Wenn Du das herausgefunden hast, weise nach, daß es ein Körper ist.
Dazu kannst Du Dich der Tatsache bedienen, daß [mm] \IC [/mm] ein Körper ist, und daß Du es hier mit einer Teilmenge von [mm] \IC [/mm] zu tun hast.
Du brauchst also nur "Teilkörper von [mm] \IC" [/mm] nachzuweisen.
Gruß v. Angela
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