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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Di 08.12.2009 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, daß [mm] \IZ/3 \IZ_{\IC} [/mm] ein Körper mit 9 Elementen ist und das [mm] \IZ/5 \IZ_{\IC} [/mm] kein Körper ist. |
Ich muss also für die Elemente von [mm] \IZ/3 \IZ_{\IC} [/mm] die Körperaxiome prüfen.
Meine Frage ist nun, wie ich mir [mm] \IZ/3 \IZ_{\IC} [/mm] vorstellen soll?
Was bedeutet: [mm] \IZ_{\IC} [/mm] ? ( Also die ganzen Zahlen mit den komplexen Zahlen als Index).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Mi 09.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie, daß [mm]\IZ/3 \IZ_{\IC}[/mm] ein Körper mit 9
> Elementen ist und das [mm]\IZ/5 \IZ_{\IC}[/mm] kein Körper ist.
>
> Ich muss also für die Elemente von [mm]\IZ/3 \IZ_{\IC}[/mm] die
> Körperaxiome prüfen.
Jain. Je nachdem was ihr hattet geht's auch anders (und das ist dann einfacher). Aber Axiome einzeln nachpruefen geht natuerlich auch.
> Meine Frage ist nun, wie ich mir [mm]\IZ/3 \IZ_{\IC}[/mm]
> vorstellen soll?
Na, da schaust du am besten in eure Vorlesung. Ich kann aber mal ein wenig orakeln.
Vermutlich habt ihr fuer einen kommutativen Ring $R$ mit Eins folgendes definiert:
[mm] $R_\IC [/mm] := R [mm] \times [/mm] R$ mit den Verknuepfungen $(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)$ und $(a, b) [mm] \cdot [/mm] (c, d) = (a c - b d, a d + b c)$.
Ihr habt vermutlich gezeigt, dass dies wieder ein kommutativer Ring mit Eins ist.
Jetzt sollst du die Koerper [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/5\IZ$ [/mm] anschauen, und die Komplexifizierungen [mm] $(\IZ/3\IZ)_\IC [/mm] = [mm] \IZ/3\IZ_\IC$ [/mm] und [mm] $(\IZ/5\IZ)_\IC [/mm] = [mm] \IZ/5\IZ_\IC$.
[/mm]
Du musst nur noch zeigen, dass alle Elemente [mm] $\neq [/mm] 0$ in [mm] $(\IZ/3\IZ)_\IC$ [/mm] ein Inverses besitzen, und dass es in [mm] $(\IZ/5\IZ)_\IC$ [/mm] Elemente gibt die kein Inverses haben.
LG Felix
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