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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Fr 11.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Stellen sie die beiden Verknüpfungstafeln (bzg. + und mal) auf von [mm] \IZ_3. [/mm] welche algebraische Struktur sehen sie vor sich? |
Verknüpfungstafeln kein problem.
[mm] \IZ_3 [/mm] ist ein körper.
Ich möchte jetzt aber nicht alle axiome nachprüfen. (Auch wenn man viele an der Verknüpfungstafel ableseen kann)
Meine Frage ist: Kann ich zeigen, dass [mm] \IZ_3 [/mm] ein Unterkörper von [mm] \IZ [/mm] ist? den [mm] \IZ [/mm] ist ja ein Körper.
Die Bedingungen wären ja: für je zwei elemente a,b [mm] \in \IZ [/mm] ist sowohl a-b [mm] \in \IZ [/mm] als auch [mm] b\not= [/mm] 0, [mm] ab^{-1} \in \IZ
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Fr 11.11.2011 | | Autor: | sissile |
achso,mhmm.
Also muss man wirklich alle axiome nachweißen? Gibts da keinen einfacheren weg?
Nullelement, Inverse bez +, Kommutativ bez +, Einselement,Kommutativ bez mal, Nulltelerfreiheit, Inverse bez mal sehe ich aus tabellen. (ich schreib schon auf wie ich es sehe auf meinen zettel, aber hier ist es ja mal egeal)
Also muss ich assoziativität bez + und bez mal und Distribututivität nachweisen?
Reicht das:
Assoziativität a + (b+c) = (a+b) +c
0 + (1+2) = (0+1) +2
0+0=1+2
0=0
Assoziativität
a [mm] \cdot [/mm] ( b [mm] \cdot [/mm] c) = (a [mm] \cdot [/mm] b) [mm] \cdot [/mm] c
0 [mm] \cdot [/mm] ( 1 [mm] \cdot [/mm] 2) = (0 [mm] \cdot [/mm] 1) [mm] \cdot [/mm] 2
0 [mm] \cdot [/mm] 2 = 0 [mm] \cdot [/mm] 2
0=0
Distribututivität
a [mm] \cdot [/mm] ( b + c) = a [mm] \cdot [/mm] b + a [mm] \cdot [/mm] c
0 [mm] \cdot [/mm] ( 1 + 2) = 0 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] 2
0 [mm] \cdot [/mm] 0 = 0 [mm] \cdot [/mm] 0
0=0
Oder muss ich a=1, a =0, a =2 ... und so weiter immer für jedes nachweisen? Also für alle axiome dreimal machen? Oder zeige ich dass schon in der Kommutativität?
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Hallo nochmal,
> achso,mhmm.
> Also muss man wirklich alle axiome nachweißen?
Einfärben musst du nichts, weder in weiß noch blau oder schwarz.
> Gibts da
> keinen einfacheren weg?
Wenn ihr schon wisst, dass [mm](\IZ_n,+,\cdot{})[/mm] ein Ring ist (Restklassenring), genügt es, wenn du nachweist, dass für [mm]n[/mm] prim (also dann in der Folgerung insbesondere für [mm]n=3[/mm]) jedes Element ein multiplikatives Inverses hat.
Dann wärest du fertig.
>
> Nullelement, Inverse bez +, Kommutativ bez +,
> Einselement,Kommutativ bez mal, Nulltelerfreiheit, Inverse
> bez mal sehe ich aus tabellen.
Jo, das ist auch so in Ordnung!
> (ich schreib schon auf wie
> ich es sehe auf meinen zettel, aber hier ist es ja mal
> egeal)
>
> Also muss ich assoziativität bez + und bez mal und
> Distribututivität nachweisen?
> Reicht das:
> Assoziativität a + (b+c) = (a+b) +c
> 0 + (1+2) = (0+1) +2
> 0+0=1+2
> 0=0
>
> Assoziativität
> a [mm]\cdot[/mm] ( b [mm]\cdot[/mm] c) = (a [mm]\cdot[/mm] b) [mm]\cdot[/mm] c
> 0 [mm]\cdot[/mm] ( 1 [mm]\cdot[/mm] 2) = (0 [mm]\cdot[/mm] 1) [mm]\cdot[/mm] 2
> 0 [mm]\cdot[/mm] 2 = 0 [mm]\cdot[/mm] 2
> 0=0
>
> Distribututivität
> a [mm]\cdot[/mm] ( b + c) = a [mm]\cdot[/mm] b + a [mm]\cdot[/mm] c
> 0 [mm]\cdot[/mm] ( 1 + 2) = 0 [mm]\cdot[/mm] 1 + 0 [mm]\cdot[/mm] 2
> 0 [mm]\cdot[/mm] 0 = 0 [mm]\cdot[/mm] 0
> 0=0
>
> Oder muss ich a=1, a =0, a =2 ... und so weiter immer für
> jedes nachweisen?
Ja, das müsstest du für alle Kombinationen durchmachen, die Kommutativität kannst du natürlich nutzen und dir Fälle ersparen.
> Also für alle axiome dreimal machen?
> Oder zeige ich dass schon in der Kommutativität?
Bsp. Assoziativität:
[mm]a(bc)=(ab)c[/mm] musst du für alle [mm]a,b,c\in\{0,1,2\}[/mm] durchrechnen.
Aber unterscheiden zwischen etwa [mm]1(2\cdot{}3)[/mm] und [mm]2(1\cdot{}3)[/mm] musst du dann nicht.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Fr 11.11.2011 | | Autor: | sissile |
> Wenn ihr schon wisst, dass $ [mm] (\IZ_n,+,\cdot{}) [/mm] $ ein Ring ist (Restklassenring), genügt es, wenn du nachweist, dass für $ n $ prim (also dann in der Folgerung insbesondere für $ n=3 $) jedes Element ein multiplikatives Inverses hat.
Also komme ich doch drum rum die Axiome zu machen?
$ [mm] (\IZ_n,+,\cdot{}) [/mm] $ ein Ring ist ..Ja hatten wir schon
[mm] \forall [/mm] a [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \exist [/mm] x [mm] \in [/mm] K so dass x [mm] \cdot [/mm] a = 1
1 * 1 =1
2 * 2 = 4=1
Von eins wäre das inverse 1
für zwei wäre das inverse 2
Und das würde reichen?
Dann wäre ich ja dumm, wenn ich die axiome alle nachweise...wenn dass so einfach geht!
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Hallo nochmal,
> > Wenn ihr schon wisst, dass [mm](\IZ_n,+,\cdot{})[/mm] ein Ring ist
> (Restklassenring), genügt es, wenn du nachweist, dass für
> [mm]n[/mm] prim (also dann in der Folgerung insbesondere für [mm]n=3 [/mm])
> jedes Element ein multiplikatives Inverses hat.
>
> Also komme ich doch drum rum die Axiome zu machen?
> [mm](\IZ_n,+,\cdot{})[/mm] ein Ring ist ..Ja hatten wir schon
Das ist doch prima, dann kannst du das entweder allg. für $n$ prim machen oder konkret (wie du im folgenden machst) für $n=3$
>
> [mm]\forall[/mm] a [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\exist[/mm] x [mm]\in[/mm] K so dass x [mm]\cdot[/mm] a = 1
> 1 * 1 =1
> 2 * 2 = 4=1
> Von eins wäre das inverse 1
> für zwei wäre das inverse 2
>
> Und das würde reichen?
Jo, alles fertig!
> Dann wäre ich ja dumm, wenn ich die axiome alle
> nachweise...
Na, wenn ihr wisst, dass es auf jeden Fall ein Ring ist, dann fehlt zum Körper nur die multiplikative Invertierbarkeit eines jeden Elementes (außer dem neutralen bzgl. der Addition - hier die 0)
> wenn dass so einfach geht!
Ich würde meinen, dass du dann fertig bist!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Fr 11.11.2011 | | Autor: | sissile |
Ja damit wäre ich schon fertig - ich hätte nur noch eine Frage dazu.
Wenn ich habe [mm] \IZ_4. [/mm]
dann finde ich für 2 kein mult. inverses.
also ist es kein körper?
sondern ein kommutativer Ring mit Einselemet oder?
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Moin,
> Ja damit wäre ich schon fertig - ich hätte nur noch eine
> Frage dazu.
>
> Wenn ich habe [mm]\IZ_4.[/mm]
> dann finde ich für 2 kein mult. inverses.
> also ist es kein körper?
Ja.
> sondern ein kommutativer Ring mit Einselemet oder?
So ist es.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Fr 11.11.2011 | | Autor: | sissile |
<Ich danke euch ;)
Schön, dass man einfach seine Fragen stellen kann und perfekte klare antworten bekommt!
Liebe grüße
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