Körper, Beweis ohne Induktion < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:58 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Kajarana |
| Aufgabe | Sei (K,+,*) ein Körper und seien x,y [mm] \in [/mm] K. Zeigen Sie ohne Induktion, dass für alle n [mm] \in \IN* [/mm] gilt:
[mm] x^n-y^n [/mm] = (x-y)* [mm] \summe_{i=0}^{n-1}x^iy^{n-1-i}
[/mm]
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Ich komm hier überhaupt nicht weiter, wäre für jede Hilfe auch wenn es nur ein Ansatz ist sehr dankbar...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
> Sei (K,+,*) ein Körper und seien x,y [mm]\in[/mm] K. Zeigen Sie ohne
> Induktion, dass für alle n [mm]\in \IN*[/mm] gilt:
> [mm]x^n-y^n[/mm] = (x-y)* [mm]\summe_{i=0}^{n-1}x^iy^{n-1-i}[/mm]
>
was bleibt dir uebrig? ausrechnen! den term rechts vom =-zeichen kannst du doch mit dem distr.-gesetz ausmultiplizieren. dann eventuell die summenindizes verschieben und es muesste sich das meiste wegheben.
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:19 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Kajarana |
ja, das war mir klar, hab ich auch probiert, aber das kommt nicht hin, ich komm nie auf den Term links von =-zeichen. Das ist ja genau mein Problem...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:28 Fr 09.11.2007 | | Autor: | MatthiasKr |
> ja, das war mir klar, hab ich auch probiert, aber das kommt
> nicht hin, ich komm nie auf den Term links von =-zeichen.
> Das ist ja genau mein Problem...
ich habs mir gerade mal hingeschrieben. es geht exakt so, wie ich gesagt habe. versuch es nochmal. wenns nicht klappt, schreibe deine rechung hier hin und wir suchen den fehler....
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:51 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Kajarana |
ok, ich schreib mal meinen Ansatz auf:
[mm] (x^n-y^n)=(x-y)*\summe_{i=0}^{n-1}x^i*y^{n-1-i}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{n-1}((x^{i+1}*y^{n-1-i})-(x^i*y^{n-i}))
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{n-1}((x^{i+1}*y^{n-1-i})-(\summe_{i=0}^{n-1}(xî*y^{n-i}))
[/mm]
[mm] =x^{n+1}*y^{-2}+\summe_{i=1}^{n-1}x^i*y^{n-i-1}-\summe_{i=1}^{n-1}x^{i-1}*y^{n-i}-x^n*y^{-1}
[/mm]
Naja, das geht jetzt noch ein bisschen weiter, aber ich komm da irgendwie nie zum Ende. Meine Idee war, die Summen gleich zu machen um die dann voneinander subtrahieren zu können, aber ich steh wohl echt aufm Schlauch...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:05 Fr 09.11.2007 | | Autor: | MatthiasKr |
> ok, ich schreib mal meinen Ansatz auf:
> [mm](x^n-y^n)=(x-y)*\summe_{i=0}^{n-1}x^i*y^{n-1-i}[/mm]
> [mm]=\summe_{i=0}^{n-1}((x^{i+1}*y^{n-1-i})-(x^i*y^{n-i}))[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=0}^{n-1}((x^{i+1}*y^{n-1-i})-(\summe_{i=0}^{n-1}(x^i*y^{n-i}))[/mm]
>
Ok, bis hierher richtig, danach wirds abenteuerlich, deshalb setze ich hier mal an... die erste summe kann man doch jetzt auch schreiben
[mm] $=\summe_{i=0}^{n-1}x^{i+1}*y^{n-(i+1)}-\summe_{i=0}^{n-1}x^i*y^{n-i}$ [/mm]
das heisst, du musst in der ersten summe nur den laufindex umbenennen und schon steht fast das gleiche da wie in der zweiten summe.
dann hebt sich alles bis auf 2 summanden weg und du bist fertig...
> [mm]=x^{n+1}*y^{-2}+\summe_{i=1}^{n-1}x^i*y^{n-i-1}-\summe_{i=1}^{n-1}x^{i-1}*y^{n-i}-x^n*y^{-1}[/mm]
>
> Naja, das geht jetzt noch ein bisschen weiter, aber ich
> komm da irgendwie nie zum Ende. Meine Idee war, die Summen
> gleich zu machen um die dann voneinander subtrahieren zu
> können, aber ich steh wohl echt aufm Schlauch...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:17 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Kajarana |
sorry, aber ich seh nicht so richtig, was du jetzt anders gemacht hast als ich. Wenn ich in der ersten Summe den Laufindex umbenenne, muss ich das doch auch für die zweite machen, oder? Und dann passt das bei mir wieder nicht...
Könntest du das vll noch einmal ein bisschen ausführlicher aufschreiben? Tut mir echt leid, dass ich dir so auf den Geist gehen muss, aber ich bin echt fertig mit den Nerven...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:26 Fr 09.11.2007 | | Autor: | MatthiasKr |
ok, bei dir muesste es ja auch tief in der nacht sein, da laesst vielleicht die geistige frische ein wenig nach...  (hier ist es jetzt 3 uhr nachmittags!)
> > ok, ich schreib mal meinen Ansatz auf:
> > [mm](x^n-y^n)=(x-y)*\summe_{i=0}^{n-1}x^i*y^{n-1-i}[/mm]
> > [mm]=\summe_{i=0}^{n-1}((x^{i+1}*y^{n-1-i})-(x^i*y^{n-i}))[/mm]
> >
> >
> [mm]=\summe_{i=0}^{n-1}((x^{i+1}*y^{n-1-i})-(\summe_{i=0}^{n-1}(x^i*y^{n-i}))[/mm]
> >
>
> Ok, bis hierher richtig, danach wirds abenteuerlich,
> deshalb setze ich hier mal an... die erste summe kann man
> doch jetzt auch schreiben
>
> [mm]=\summe_{i=0}^{n-1}x^{i+1}*y^{n-(i+1)}-\summe_{i=0}^{n-1}x^i*y^{n-i}[/mm]
>
>
> das heisst, du musst in der ersten summe nur den laufindex
> umbenennen und schon steht fast das gleiche da wie in der
> zweiten summe.
>
> dann hebt sich alles bis auf 2 summanden weg und du bist
> fertig...
>
was ich meine ist, dass du schreiben kannst
[mm] $=\summe_{i=1}^{n}x^{i}*y^{n-i}-\summe_{i=0}^{n-1}x^i*y^{n-i}$
[/mm]
die erste summe hat sich nicht geaendert, ich habe sie nur anders aufgeschrieben bzw. den index verschoben. klar?
jetzt siehst du, dass sich die summanden zwischen $i=1$ und $n-1$ alle wegheben, uebrig bleibt genau das, was du willst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:35 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Kajarana |
Ok, ich glaub ich habs jetzt, Vielen vielen Dank!
Hier ist es gerade halb 4 Uhr morgens und ich sitz schon seit Stunden an diesem Kram. Du hast mir also immerhin noch ein paar Stündchen Schlaf ermöglicht :)
Ich lass mich dann jetzt mal auf mein Bett fallen und hoffe, dass ich es morgen irgendwie schaffe, pünktlich in der Uni zu sitzen...
Also, Gruß ins schöne Neuseeland und danke nochmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:39 Fr 09.11.2007 | | Autor: | MatthiasKr |
> Ok, ich glaub ich habs jetzt, Vielen vielen Dank!
> Hier ist es gerade halb 4 Uhr morgens und ich sitz schon
> seit Stunden an diesem Kram. Du hast mir also immerhin noch
> ein paar Stündchen Schlaf ermöglicht :)
> Ich lass mich dann jetzt mal auf mein Bett fallen und
> hoffe, dass ich es morgen irgendwie schaffe, pünktlich in
> der Uni zu sitzen...
> Also, Gruß ins schöne Neuseeland und danke nochmal!
Viele gruesse zurueck 
matthias
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