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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Di 10.05.2011 | | Autor: | andora |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass R² ein Körper ist, wenn man die Multiplikation folgendermaßen defi niert:
(x1; x2) * (y1; y2) := (x1 * y1 - x2 * y2; x1 * y2 + x2 * y1): |
Ich sitze jetzt schon einige Zeit vor dieser Aufgabe (und einer 2. sehr ähnlichen) und weiß nicht wie ich es anfangen soll.
Ich weiß, dass ich um diese Aufgabe zu lösen zu können, zeigen muss das alle Körpergesetze zutreffend sind, nur weiß ich nicht, wie ich eben das zeigen kann, leider wurde in der Vorlesung auch nichts dazu gesagt.
Ich hoffe das ist nicht zu allgemein und jemand kann mir dabei helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ist dir klar, dass das nichts anderes ist als die Multiplikation in [mm] \IC?
[/mm]
Vielleicht hilft dir das ja, die sonst sehr wüste Rechnerei ein wenig zu vereinfachen.
Gruß, Diophant
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> Zeigen Sie, dass R² ein Körper ist, wenn man die
> Multiplikation folgendermaßen defi niert:
> (x1; x2) * (y1; y2) := (x1 * y1 - x2 * y2; x1 * y2 + x2 *
> y1):
> Ich sitze jetzt schon einige Zeit vor dieser Aufgabe (und
> einer 2. sehr ähnlichen) und weiß nicht wie ich es
> anfangen soll.
> Ich weiß, dass ich um diese Aufgabe zu lösen zu können,
> zeigen muss das alle Körpergesetze zutreffend sind, nur
> weiß ich nicht, wie ich eben das zeigen kann, leider wurde
> in der Vorlesung auch nichts dazu gesagt.
> Ich hoffe das ist nicht zu allgemein und jemand kann mir
> dabei helfen.
Wie Diophant schon angemerkt hat, kann man diese Multiplikation von den zwei Tupel als Multiplikation in [mm]\IC[/mm] auffassen.
Du musst halt schon alle Körperaxiome nachweisen. Um's rechnen kommst du leider nicht drum herum.
So wie das dasteht, kannst du davon m.E. ausgehen, dass mit der Addition alles schon klar ist.
Die Element in dem Körper kannst du ja als Vektoren [mm]\vektor{a \\
b}[/mm] mit Einträgen aus [mm]\IR[/mm] auffassen (zur Anschauung). (meinst du [mm]\IR[/mm] oder R?)
Also [mm]a,b\in \IR^2[/mm], dann
[mm]a*b=\vektor{a_1\\
a_2}*\vektor{b_1\\
b_2}=\vektor{a_1*b_1-a_2*b_2\\
a_1*b_2+a_2*b_1}[/mm]
Jetzt musst die Körperaxiome abarbeiten (wie du gesagt hast): z.z. [mm](R^2\setminus \{0_2\},\cdot)[/mm] ist eine kommunative Gruppe:
1) Existenz des neutralen Elements. Wie muss ein Element [mm]e[/mm] in [mm]\IR^2[/mm] aussehen (konkret angeben), damit gilt [mm]e\cdot v=v\forall v\in \IR^2[/mm]. (Nach dem Rechnen mit deiner obigen Formel)
2) Gilt [mm]a*b=b*a[/mm]? Da kannst du beides aufschreiben
[mm]a*b\;=[/mm]________
[mm]b*a\;=[/mm]________
Du erhälst wieder ein Tupel (oder anschaulich einen Vektor). Die einzelnen Komponenten des Vektors liegen in [mm]\IR[/mm], du darfst also in den Komponenten die Kommunativität ausnutzen.
3) hässliche Rechnung = Assoziativgesetz
Nimm dir [mm]a,b,c\in \IR^2[/mm] und multipliziere beide Seiten aus:
[mm]a*(b*c)=\;[/mm]____________
[mm](a*b)*c=\;[/mm]____________
Auch hier darfst du in den einzelnen Komponenten alle Körperaxiome anwenden, da [mm]\IR[/mm] ein Körper ist.
4) inverses Element:
Suche ein Element z aus (konkret angeben) für das gilt:
[mm]Z*a=e\forall a\in \IR^2[/mm]
5) Distributivgesetz
Du kannst dir hier das Leben etwas einfacher machen, indem du das Linksdistributivgesetz nur zeigst:
[mm]a*(b+c)=a*b+a*c[/mm]
Wie ausrechnen:
[mm]\vektor{a_1\\
a_2}*(\vektor{b_1\\
b_2}+\vektor{c_1\\
c_2})=\vektor{a_1\\
a_2}*\vektor{b_1+c_1\\
b_2+c_2}=\ldots[/mm]
umsortieren....
[mm]=\vektor{a_1*b_1\\
a_2*b_2}+\vektor{a_1+c_1\\
a_2+c_2}[/mm]
Das Rechtsdistributivgesetz folgt leicht aus den Eigenschaften 1) bis 4)
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