Körper mit 64 Elementen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Do 27.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Sei $R= \mathbf{F}_{2}[x], A=x^{6}+x+1$ und $I=AR$. Zeige, dass $\mathbf{F}=R/I$ ein Körper mit 64 Elementen ist. |
Hallo!
Behauptung: $R= \mathbf{F}_{2}[x], A=x^{6}+x+1$ und $I=AR$, $|R/I| = 64$
Beweis: Sei $I=(x^{6}+x+1)R$
, dann ist $R/I = \{p(x)+I | deg(p(x)) < 6 \} = \{a+bx+I | a,b \in \mathbf{F}_{2}\} \Rightarrow |R/I| \le 64 $
Dabei sind alle Elemente $a+bx+I, a,b \in \mathbf{F}_{2}$ paarweise verschieden, denn mit : $A(x)+I = B(x)+I , deg(A), deg(B) < 6 \Rightarrow A(x)-B(x) + I = 0 + I \Rightarrow A(x)-B(x) \in I = (x^{6}+x+1)R \Rightarrow (x^{6}+x+1}|A(x)-B(x) \Rightarrow A(x)-B(x)=0 \gdw A(x)=B(x)$
Die Kommutativität von $R/I$ ist trivial, weil alle Koeffizienten in $\mathbf{F}_{2}$ liegen. Und weil Restklassenringe von kommutativen Ringen mit Eins immer kommutative Ringe mit eins sind, folgt, dass $R/I$ ein Körper ist. $\Box$
Ist das so OK?
Wäre sehr froh und dankbar wenn jemand schnell drüberschaut!!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Do 27.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]R= \mathbf{F}_{2}[x], A=x^{6}+x+1[/mm] und [mm]I=AR[/mm]. Zeige, dass
> [mm]\mathbf{F}=R/I[/mm] ein Körper mit 64 Elementen ist.
> Hallo!
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> Behauptung: [mm]R= \mathbf{F}_{2}[x], A=x^{6}+x+1[/mm] und [mm]I=AR[/mm],
> [mm]|R/I| = 64[/mm]
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> Beweis: Sei [mm]I=(x^{6}+x+1)R[/mm]
> , dann ist [mm]R/I = \{p(x)+I | deg(p(x)) < 6 \} = \{a+bx+I | a,b \in \mathbf{F}_{2}\} \Rightarrow |R/I| \le 64[/mm]
>
>
> Dabei sind alle Elemente [mm]a+bx+I, a,b \in \mathbf{F}_{2}[/mm]
> paarweise verschieden, denn mit : [mm]A(x)+I = B(x)+I , deg(A), deg(B) < 6 \Rightarrow A(x)-B(x) + I = 0 + I \Rightarrow A(x)-B(x) \in I = (x^{6}+x+1)R \Rightarrow (x^{6}+x+1}|A(x)-B(x) \Rightarrow A(x)-B(x)=0 \gdw A(x)=B(x)[/mm]
>
> Die Kommutativität von [mm]R/I[/mm] ist trivial, weil alle
> Koeffizienten in [mm]\mathbf{F}_{2}[/mm] liegen. Und weil
> Restklassenringe von kommutativen Ringen mit Eins immer
> kommutative Ringe mit eins sind, folgt, dass [mm]R/I[/mm] ein
> Körper ist. [mm]\Box[/mm]
Du hast gezeigt, dass $R/I$ ein kommutativer Ring mit Eins mit 64 Elementen ist.
Aber warum ist es ein Koerper? Diese "Kleinigkeit" hast du vergessen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Do 27.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> kleinigkeit
Existenz des INversen:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \in [/mm] R/I \ [mm] \exists [/mm] x' [mm] \in [/mm] R/I : xx'=x'x=1$ diese sind gegeben durch:
[mm] $1\cdot [/mm] 1 = [mm] 3\cdot [/mm] 3 = [mm] x\cdot [/mm] 3x = (1+x)(1+3x)= (1+3x)(3x+3x)= 1$
damit ist $R/I$ ein kommutativer Ring mit Eins und Inversem und dadurch ein Körper. ?
> felixf
Danke!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Do 27.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > kleinigkeit
>
>
> Existenz des INversen:
>
> [mm]\forall x \ne 0 \in R/I \ \exists x' \in R/I : xx'=x'x=1[/mm]
> diese sind gegeben durch:
>
> [mm]1\cdot 1 = 3\cdot 3 = x\cdot 3x = (1+x)(1+3x)= (1+3x)(3x+3x)= 1[/mm]
Also erstens ist 1 = 3 in diesem Koerper.
Zweitens hat der Koerper 64 Elemente.
Die Gleichung $(1 + x) (1 + x) = 1$ gilt zumindest definitiv nicht. Wie kommst du dadrauf?
> damit ist [mm]R/I[/mm] ein kommutativer Ring mit Eins und Inversem
> und dadurch ein Körper. ?
Wenn du wirklich von allen Elementen [mm] $\neq [/mm] 0$ gezeigt haettest, dass sie invertierbar ist, dann waer das ok.
Warum versuchst du es nicht mit etwas mehr Theorie? Damit kannst du dir viel Arbeit ersparen, und spaetesten sind der Pruefung musst du die Theorie koennen, einfach alles elementar nachrechnen reicht dann nicht mehr!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Do 27.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> mehr Theorie
OK. Weil [mm] (x^{6}+x+1) [/mm] nicht reduzibel ist ist R/I ein Integritätsbereich, und weil die Anzahl der Elemente in R/I endlich ist , ist es ein Körper.
> felixf
Vielen Dank!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Fr 28.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> OK. Weil [mm](x^{6}+x+1)[/mm] nicht reduzibel ist ist R/I ein
> Integritätsbereich, und weil die Anzahl der Elemente in
> R/I endlich ist , ist es ein Körper.
das ist sehr knapp. Du solltest z.B. auch erwaehnen, was $R/I$ fuer ein Ring ist.
Und die Endlichkeit von $R/I$ brauchst du nicht, es reicht etwas Wissen ueber $R$ und $I$.
Zum Beispiel ist [mm] $\IQ[X]/(X^6 [/mm] - 2)$ ebenfalls ein Koerper, und man kann eigentlich genauso argumentieren wie in dem Fall oben um dies zu begruenden. Aber [mm] $\IQ[X]/(X^6-2)$ [/mm] ist nicht endlich.
Ueberlege doch mal, wie du es in diesem Fall begruenden kannst.
LG Felix
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