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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 So 14.11.2004 | | Autor: | BigFella |
Hallo zusammen,
ich soll heute mal Zeigen, dass [mm] \IQ_{p} [/mm] keinen nichttrivialen Körperautomorphismus besitzt. Gut hat da jemand vieleicht ne Idee, wie man da ansetzte?
Danke und schönen Sonntag noch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 So 14.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo BigFella!
Was ist der [mm] $Q_p$? [/mm] Für den Körper der rationalen Zahlen könnte ich dir helfen, so weiß ich aber nicht, was mit [mm] $Q_p$ [/mm] gemeint ist. Kannst du mir das noch sagen?
Liebe Grüße,
Hanno
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[mm] /IQ_{p} [/mm] meint die p-adischen Zahlen. Naja vielleicht hat jemande auch ne tolle Seite dazu oder ein gutes Buch, das mir helfen würde, mir die Eigenschaften von [mm] /IQ_{p} [/mm] mal genauer vorzustellen.: z.B. wieso ist der algebraische Abschluss von [mm] /IQ_{p} [/mm] nicht mehr vollständig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 So 14.11.2004 | | Autor: | Irrlicht |
Hallo BigFella,
Ich verweise auf meine Diplomarbeit (die keiner sehen kann). *g* Sie ist aber eine Ausarbeitung einiger Kapitel des sehr sehr knapp gehaltenen Buches "Local Fields" von Cassels. Alternativ oder zusätzlich kannst du die "Introduction to p-adic numbers" von Gouvea durchlesen. Letzteres Buch ist sehr schön geschrieben. Zuletzt kann ich noch "Einführung in die Algebra II" von Falko Lorenz nennen, dessen Buch aber sehr abstrakt ist und nur als Zusatz geeignet ist.
Eine einfache Antwort auf deine Beispielfrage kann ich dir jetzt nicht geben. Das wär mir jetzt zuviel Tipparbeit. Aber ich könnte dir auf Wunsch die Grundidee nennen. (Bzw. dir den Abschnitt meiner Diplomarbeit zuschicken.)
Lieben Grüss,
Irrlicht
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Hallo du,
Jeder Körperautomorphismus lässt schonmal [mm] \IQ [/mm] punktweise fest. Jeder stetige Körperautomorphismus lässt aufgrund der Dichtheit von [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IQ_p [/mm] ganz [mm] \IQ_p [/mm] fest. Ich mach mir mal Gedanken darüber und editiere meine Funde hier hinein.
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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Hallo,
in einer Newsgroup haben Irrlicht und ich eine Beweisidee gefunden und sie ausgearbeitet.
Nehmen wir einen beliebigen Körperautomorphismus f: [mm] \IQ_p \to \IQ_p.
[/mm]
Wir unterscheiden zwei Fälle:
I. Es gibt ein x in [mm] \IZ_p, [/mm] so dass f(x) nicht in [mm] \IZ_p [/mm] liegt.
II. Für jedes x in [mm] \IZ_p [/mm] liegt auch f(x) in [mm] \IZ_p.
[/mm]
Im ersten Fall kann man eine natürliche Zahl n und eine ganze Zahl a angeben, so dass
[mm] 1+a*x^n [/mm] so nahe bei 1 liegt, dass es eine Quadratwurzel in [mm] \IZ_p [/mm] hat,
[mm] 1+a*f(x)^n [/mm] den Betrag [mm] |p|^{-1} [/mm] hat, und somit keine Quadratwurzel in [mm] \IQ_p [/mm] haben kann.
Stelle dazu eine Bedingung an den Betrag von a, die von n und den Beträgen von x und f(x) abhängt. Daraus kannst du eine Bedingung an n ableiten, womit du sogar geeignete Werte für n und a angeben kannst.
Daraus folgt, dass f kein Homomorphismus ist, dieser erste Fall kann also gar nicht auftreten.
Im zweiten Fall kann man beweisen, dass f die Identität sein muss.
Sei x aus [mm] \IQ_p [/mm] ungleich 0, dann gibt es eine ganze Zahl k so dass [mm] u:=x*p^k [/mm] den Betrag 1 hat.
Es ist f(x)=f(u)*p^(-k) und x = u*p^(-k), wenn wir also zeigen, dass u=f(u) ist, sind wir fertig.
Wir beginnen die p-adische Entwicklung von u bis zum n-ten Glied, erhalten damit
$u = [mm] b_n [/mm] + [mm] p^n y_n$, [/mm] wobei [mm] b_n [/mm] in [mm] \IZ [/mm] und [mm] y_n [/mm] in [mm] \IZ_p [/mm] liegt.
Was ist dann f(u)?
Bilde die Differenz f(u)-u und gehe zum Grenzwert n [mm] \to \infty [/mm] über (beachte dabei, dass wir uns im zweiten Fall befinden).
Gruss,
SirJective
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