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Hi,
folgendes zu beweisen
1] (-a)b = -(ab)
2] (-a)(-b) = ab
Klingt banal, ist es aber nicht. Wir dürfen nur die Körperaxiome (A1-A4, M1-M4, D) anwenden, um das zu bewesien. Ich frage mich , wie ich das Minus aus der Klammer heraus bekomme. Wir dürfen zwar die Konvention a + (-b) = a-b verwenden, aber nicht -(-a) = a (was ja auch keine Konvention ist, sondern zu beweisen wäre, was ich ebenfalls nicht hinbekomme).
Wer kann mir helfen? wäre super, lg
Andi
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:55 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andi,
> Hi,
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> folgendes zu beweisen
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> 1] (-a)b = -(ab)
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> 2] (-a)(-b) = ab
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> Klingt banal, ist es aber nicht. Wir dürfen nur die
> Körperaxiome (A1-A4, M1-M4, D) anwenden, um das zu
> bewesien. Ich frage mich , wie ich das Minus aus der
> Klammer heraus bekomme. Wir dürfen zwar die Konvention a +
> (-b) = a-b verwenden, aber nicht -(-a) = a (was ja auch
> keine Konvention ist, sondern zu beweisen wäre, was ich
> ebenfalls nicht hinbekomme).
Ich gebe dir jetzt mal ein Skript an, wo wir die Körperaxiome aufgeschrieben haben, auf die ich im Folgenden Verweise:
![[]](/images/popup.gif) Analysis-Skript [mm] $\to$ [/mm] Anfang Kapitel 2
Vorbemerkung: Im folgenden sprechen wir von Inversen bzw. dem inversen Element, wobei dies stets bzgl. "+" gemeint ist.
Zunächst:
Wir zeigen zuerst:
[mm] $(\star)$ [/mm] Für jedes $x [mm] \in [/mm] K$, wobei $K$ Körper, gibt es genau ein Inverses (bzgl. "+").
Beweis:
Die Existenz ist (siehe Skript) nach K.5 gesichert. Ist nun [mm] $\hat{x}$ [/mm] ein weiteres inverses Element zu $x [mm] \in [/mm] K$, so folgt:
[m]\hat{x}\stackrel{K.3}{=}\hat{x}+0_K\stackrel{K.1}{=}0_k+\hat{x}[/m]
[m]\stackrel{K.5}{=}(x+(-x))+\hat{x}\stackrel{K.1}{=}((-x)+x)+\hat{x}[/m]
[m]\stackrel{K.2}{=}(-x)+\underbrace{(x+\hat{x})}_{=0_K,\;da\,\,\hat{x}\,\,invers\,\,zu\,\,x}[/m]
[m]=(-x)+0_K\stackrel{K.3}{=}-x[/m]
Jetzt zu 1] Seien $a,b [mm] \in [/mm] K$ und $K$ ein Körper.
Es ist klar, dass $ab [mm] \in [/mm] K$. Nach K.5 ist $-(ab)$ ein Element von $K$, so dass:
[mm] $ab+(-(ab))=ab-ab=0_K$ [/mm] gilt, wobei [mm] $0_K$ [/mm] das Nullelement von $K$ sei (existiert nach K.3).
Wegen [mm] $(\star)$ [/mm] genügt es, zu zeigen, dass nun auch:
[mm] $ab+((-a)b)=0_K$ [/mm] gilt. (Beachte, dass wegen $a [mm] \in [/mm] K$ auch $-a [mm] \in [/mm] K$ gilt (nach K.5) und daher auch $(-a)b [mm] \in [/mm] K$.)
Zeigen wir dies nun:
Es gilt:
[m]ab+((-a)b)\stackrel{K.1}{=}ba+b*(-a)\stackrel{K.6}{=}b*(a+(-a))[/m]
[m]\stackrel{K.5}{=}b*0_K\stackrel{Skript,\,\,Satz\,\,2.4}{=}0_K[/m].
(Beweis zu Satz 2.4:
Sei $x [mm] \in [/mm] K$. Dann folgt:
[mm] $0_K\stackrel{K.5}{=}x*0_k+(-(x*0_K))\stackrel{K.3}{=}x*(0_K+0_K)+(-(x*0_K))$
[/mm]
[m]\stackrel{K.6}{=}(x*0_K+x*0_k)+(-(x*0_k))\stackrel{K.2}{=}x*0_K+(x*0_k+(-(x*0_k)))[/m]
[mm] $\stackrel{K.5}{=}x*0_k+0_K\stackrel{K.3}{=}x*0_K$)
[/mm]
Wegen [mm] $(\star)$ [/mm] folgt die Behauptung, nämlich:
Wir haben nämlich gezeigt, dass $(-a)b$ auch invers zu $ab$ ist, und damit:
$-(ab)=(-a)b$
Zu 2]
Es gilt:
[m](-a)*(-b)\stackrel{Aufgabenteil 1}{=}-(a*(-b))\stackrel{K.1}{=}-((-b)*a)\stackrel{Aufgabenteil 1}{=}-(-(b*a))\stackrel{K.1}{=}-(-(ab))[/m], also:
[mm] $(\star \star)$ [/mm] $(-a)*(-b)=-(-(ab))$
Nun ist aber $-(-(ab))$ das Inverse zu $-(ab)$ wegen K.5.
Ferner gilt:
[mm] $-(ab)+(ab)\stackrel{K.1}{=}(ab)+(-(ab))\stackrel{K.5}{=}0_K$, [/mm] d.h. sowohl $ab$ als auch $-(-(ab))=(-a)*(-b)$ sind invers zu [mm] $-(ab)\in [/mm] K$, und wegen [mm] $(\star)$ [/mm] folgt:
[mm] $ab=-(-(ab))\stackrel{(\star \star)}{=}(-a)*(-b)$
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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