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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Do 17.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zur Definition eines Körpers.
Der wird ja über die Körperaxiome definiert.
Und nun habe ich in meinen Unterlagen verschiedene Definitionen eines Körpers, bei denen sich die Körperaxiome unterscheiden.
Version 1
(Ich schreib die Axiome mal in verkürzter Form.)
Ein Körper besteht aus einer Menge $K$ und zwei Abbildungen $+: K [mm] \times [/mm] K [mm] \to [/mm] K$ (Addition) und $*: K [mm] \times [/mm] K [mm] \to [/mm] K$ (Multiplikation).
(A1) Addition und Multiplikation sind kommutativ.
(A2) Addition und Multiplikation sind assoziativ.
(A3) Die Multiplikation ist distributiv bzgl. der Addition.
(A4) Es existeren Nullelement und Einselement.
(A5) Die folgenden Gleichungen besitzen eine eindeutige Lösung:
[mm] \quad \quad $\forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] K: a+x=b$ und [mm] $\forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] K, [mm] a\not= [/mm] 0: a*x=b$
Version 2
(Ich schreib mal nur die Axiome auf.)
(A1) Addition ist kommutativ.
(A2) Addition ist assoziativ.
(A3) Nullelement
(A4) Inverses Element
(A5) Multiplikation ist kommutativ.
(A6) Multiplikation ist assoziativ.
(A7) Einselement
(A8) Inverses Element
(A9) Distributivität
So, meine Frage dazu ist, wo in der ersten Version die Axiome für die inversen Elemente sind und wo in der zweiten Version die Axiome mit der eindeutigen Lösung sind.
Kann mir jemand helfen?
LG, Nadine
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> Hallo zusammen!
>
> Ich habe eine Frage zur Definition eines Körpers.
> Der wird ja über die Körperaxiome definiert.
>
> Und nun habe ich in meinen Unterlagen verschiedene
> Definitionen eines Körpers, bei denen sich die
> Körperaxiome unterscheiden.
>
> Version 1
> (Ich schreib die Axiome mal in verkürzter Form.)
> Ein Körper besteht aus einer Menge [mm]K[/mm] und zwei Abbildungen
> [mm]+: K \times K \to K[/mm] (Addition) und [mm]*: K \times K \to K[/mm]
> (Multiplikation).
> (A1) Addition und Multiplikation sind kommutativ.
> (A2) Addition und Multiplikation sind assoziativ.
> (A3) Die Multiplikation ist distributiv bzgl. der
> Addition.
> (A4) Es existeren Nullelement und Einselement.
> (A5) Die folgenden Gleichungen besitzen eine eindeutige
> Lösung:
> [mm]\quad \quad[/mm] [mm]\forall a,b \in K: a+x=b[/mm] und [mm]\forall a,b \in K, a\not= 0: a*x=b[/mm]
>
> Version 2
> (Ich schreib mal nur die Axiome auf.)
> (A1) Addition ist kommutativ.
> (A2) Addition ist assoziativ.
> (A3) Nullelement
> (A4) Inverses Element
> (A5) Multiplikation ist kommutativ.
> (A6) Multiplikation ist assoziativ.
> (A7) Einselement
> (A8) Inverses Element
> (A9) Distributivität
>
> So, meine Frage dazu ist, wo in der ersten Version die
> Axiome für die inversen Elemente sind und wo in der
> zweiten Version die Axiome mit der eindeutigen Lösung
> sind.
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> LG, Nadine
Hallo Nadine,
Antwort auf deine erste Frage:
In [mm] (A5)_1 [/mm] .
Nimm die speziellen Gleichungen $\ a+x=0$ bzw. [mm] \$a*x=1$ [/mm] !
Antwort auf deine zweite Frage:
In [mm] (A4)_2 [/mm] und [mm] (A8)_2 [/mm] wird die Existenz der inversen
Elemente bezüglich Addition und Multiplikation
verlangt.
[mm] [red]$\red{(A8)_2}$ [/mm] müsste genauer formuliert werden: das
multiplikativ inverse Element wird nur für
Elemente [mm] $\red{\not=0} [/mm] gefordert ![/red]
Für den Nachweis der Eindeutigkeit ist
jeweils ein kurzer Beweis erforderlich (falls
nicht schon Eindeutigkeit der inversen Elemente
mit in den Axiomen steht).
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 So 20.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al.
> Antwort auf deine erste Frage:
>
> In [mm](A5)_1[/mm] .
>
> Nimm die speziellen Gleichungen [mm]\ a+x=0[/mm] bzw. \[mm]a*x=1[/mm] !
Laut dem Axiom haben ja dann diese beiden Gleichungen auch eine eindeutige Lösung.
Aber woher weiß ich, dass das dann eben genau die Lösungen $-a$ bzw. [mm] a^{-1} [/mm] und somit die inversen Elemente sind?
> Antwort auf deine zweite Frage:
>
> In [mm](A4)_2[/mm] und [mm](A8)_2[/mm] wird die Existenz der inversen
> Elemente bezüglich Addition und Multiplikation
> verlangt.
>
> [mm]\red{(A8)_2}[/mm] müsste genauer formuliert werden: das
> multiplikativ inverse Element wird nur für
> Elemente [mm]$\red{\not=0}[/mm] gefordert !
>
> Für den Nachweis der Eindeutigkeit ist
> jeweils ein kurzer Beweis erforderlich (falls
> nicht schon Eindeutigkeit der inversen Elemente
> mit in den Axiomen steht).
Von Eindeutigkeit steht nix in den Axiomen, eben nur, dass es die Elemente $-a$ und [mm] a^{-1},a\not=0 [/mm] gibt, die die Gleichungen $a+(-a)=0$ und [mm] a*a^{-1}=1 [/mm] erfüllen.
Ich versuch mal einen Beweis für die Eindeutigkeit für das additiv Inverse.
Ich nehme an, dass es noch ein zweites Element gibt, dass die Gleichung erfüllt, also $a+(-a)=0$ und $a+(-a')=0$
Dann würd ich jetzt gleichsetzen: $a+(-a)=a+(-a')$
Hmm, jetzt würd ich vielleicht auf beiden Seiten $-a$ addieren, aber geht das denn? Kann ich im Beweis für das additiv Inverse das additiv Inverse auch benutzen?
LG, Nadine
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Hallo,
> > Antwort auf deine erste Frage:
> >
> > In [mm](A5)_1[/mm] .
> >
> > Nimm die speziellen Gleichungen [mm]\ a+x=0[/mm] bzw. \[mm]a*x=1[/mm] !
>
> Laut dem Axiom haben ja dann diese beiden Gleichungen auch
> eine eindeutige Lösung.
> Aber woher weiß ich, dass das dann eben genau die
> Lösungen [mm]-a[/mm] bzw. [mm]a^{-1}[/mm] und somit die inversen Elemente
> sind?
Naja, wenn a+x das neutrale Element ergibt, so ist x offensichtlich invers zu a und das additiv Inverse bezeichnet man eben normalerweise als -a, entsprechend sieht das bei der Multiplikation aus.
>
>
>
> > Antwort auf deine zweite Frage:
> >
> > In [mm](A4)_2[/mm] und [mm](A8)_2[/mm] wird die Existenz der inversen
> > Elemente bezüglich Addition und Multiplikation
> > verlangt.
> >
> > [mm]\red{(A8)_2}[/mm] müsste genauer formuliert werden: das
> > multiplikativ inverse Element wird nur für
> > Elemente [mm]$\red{\not=0}[/mm] gefordert !
> >
> > Für den Nachweis der Eindeutigkeit ist
> > jeweils ein kurzer Beweis erforderlich (falls
> > nicht schon Eindeutigkeit der inversen Elemente
> > mit in den Axiomen steht).
>
> Von Eindeutigkeit steht nix in den Axiomen, eben nur, dass
> es die Elemente [mm]-a[/mm] und [mm]a^{-1},a\not=0[/mm] gibt, die die
> Gleichungen [mm]a+(-a)=0[/mm] und [mm]a*a^{-1}=1[/mm] erfüllen.
>
> Ich versuch mal einen Beweis für die Eindeutigkeit für
> das additiv Inverse.
>
> Ich nehme an, dass es noch ein zweites Element gibt, dass
> die Gleichung erfüllt, also [mm]a+(-a)=0[/mm] und [mm]a+(-a')=0[/mm]
>
> Dann würd ich jetzt gleichsetzen: [mm]a+(-a)=a+(-a')[/mm]
>
> Hmm, jetzt würd ich vielleicht auf beiden Seiten [mm]-a[/mm]
> addieren, aber geht das denn?
Dazu müsstest du erst beweisen, dass in einem Körper die "Kürzungsregel" gilt, sprich: a+c= b+c genau dann wenn a=b gilt, entsprechend bei Multiplikation
Ich würds mal so versuchen: (-a) = 0 +(-a) = (a+ (-a´)) + (-a) = ((-a´)+a)+(-a) (wg. des Kommutativgesetzes) = (-a´)+(a+(-a)) (wg. des Assoziativgesetzes) = (-a´) + 0 = (-a´) Daraus folgt die Eindeutigkeit des Inversen, analog gehts bei der Multiplikation.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 20.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo.
> analog gehts bei der Multiplikation.
Es sei [mm] a*a^{-1}=1 [/mm] und [mm] a*b^{-1}=1.
[/mm]
[mm] a^{-1}
[/mm]
[mm] =1*a^{-1} [/mm] (Neutrales Element)
[mm] =(a*b^{-1})*a^{-1} [/mm] (eines der beiden angenommenen inversen Elemente)
[mm] =(b^{-1}*a)*a^{-1} [/mm] (Kommutativität)
[mm] =b^{-1}*(a*a^{-1}) [/mm] (Assoziativität)
[mm] =b^{-1}*1 [/mm] (anderes der beiden inversen angenommenen Elemente)
[mm] =b^{-1} [/mm] (Neutrales Element)
[mm] \Rightarrow a^{-1}=b^{-1}
[/mm]
Das inverse Element der Multiplikation ist also eindeutig.
Richtig so?
LG, Nadine
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> Hallo.
>
> > analog gehts bei der Multiplikation.
>
> Es sei [mm]a*a^{-1}=1[/mm] und [mm]a*b^{-1}=1.[/mm]
>
> [mm]a^{-1}[/mm]
>
> [mm]=1*a^{-1}[/mm] (Neutrales Element)
>
> [mm]=(a*b^{-1})*a^{-1}[/mm] (eines der beiden angenommenen inversen
> Elemente)
>
> [mm]=(b^{-1}*a)*a^{-1}[/mm] (Kommutativität)
>
> [mm]=b^{-1}*(a*a^{-1})[/mm] (Assoziativität)
>
> [mm]=b^{-1}*1[/mm] (anderes der beiden inversen angenommenen
> Elemente)
>
> [mm]=b^{-1}[/mm] (Neutrales Element)
>
> [mm]\Rightarrow a^{-1}=b^{-1}[/mm]
>
> Das inverse Element der Multiplikation ist also eindeutig.
>
>
> Richtig so? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> LG, Nadine
Ja. Allerdings kann man den Nachweis auch so führen,
dass man die (allgemeine) Kommutativität gar nicht
braucht. Im vorliegenden Fall spielt dies aber keine
Rolle, denn Kommutativität von Addition und Multi-
plikation gehören ja zu den Körperaxiomen.
(verzichtet man auf die Kommutativität der Multi-
plikation, hat man die Axiome des "Schiefkörpers")
Al
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> > Nimm die speziellen Gleichungen [mm]\ a+x=0[/mm] bzw. \[mm]a*x=1[/mm] !
>
> Laut dem Axiom haben ja dann diese beiden Gleichungen auch
> eine eindeutige Lösung.
> Aber woher weiß ich, dass das dann eben genau die
> Lösungen [mm]-a[/mm] bzw. [mm]a^{-1}[/mm] und somit die inversen Elemente
> sind?
Ein additives Inverses b von a ist so definiert, dass
a+b=0 und b+a=0
sein muss.
> > Für den Nachweis der Eindeutigkeit ist
> > jeweils ein kurzer Beweis erforderlich (falls
> > nicht schon Eindeutigkeit der inversen Elemente
> > mit in den Axiomen steht).
>
> Von Eindeutigkeit steht nix in den Axiomen, eben nur, dass
> es die Elemente [mm]-a[/mm] und [mm]a^{-1},a\not=0[/mm] gibt, die die
> Gleichungen [mm]a+(-a)=0[/mm] und [mm]a*a^{-1}=1[/mm] erfüllen.
>
> Ich versuch mal einen Beweis für die Eindeutigkeit für
> das additiv Inverse.
>
> Ich nehme an, dass es noch ein zweites Element gibt, dass
> die Gleichung erfüllt, also [mm]a+(-a)=0[/mm] und [mm]a+(-a')=0[/mm]
>
> Dann würd ich jetzt gleichsetzen: [mm]a+(-a)=a+(-a')[/mm]
>
> Hmm, jetzt würd ich vielleicht auf beiden Seiten [mm]-a[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> addieren, aber geht das denn? Kann ich im Beweis für das
> additiv Inverse das additiv Inverse auch benutzen?
natürlich nicht !
>
> LG, Nadine
Hallo Nadine,
ich benütze lieber etwas andere Bezeichnungen:
Seien b und c zwei (additive) Inverse eines Elementes a.
Dann gelten nach der Definition inverser Elemente die
Gleichungen:
(1) a+b=0
(2) b+a=0
(3) a+c=0
(4) c+a=0
Ausserdem werden natürlich die anderen Axiome voraus-
gesetzt, insbesondere das Assoziativgesetz
(5) x+(y+z)=(x+y)+z für alle x,y,z
und die Nulleigenschaften
(6) x+0=x (7) 0+x=x für alle x
Wir sollen zeigen, dass b=c sein muss. Das kann man
so machen:
$\ b\ \ \underset{(6)}{=}\ \ b+0\ \ \underset{(3)}{=}\ \ b+(a+c)\ \ \underset{(5)}{=}\ \ (b+a)+c\ \ \underset{(2)}{=}\ \ 0+c\ \ \underset{(7)}{=}\ }c$
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 So 20.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al.
Vielen Dank für deine Hilfe.
LG, Nadine
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Hallo,
Bei beiden Versionen sollte noch gefordert sein, dass das Nullelement ungleich dem Einselement sein muss, so hab ichs gelernt.
Während es so zum Beispiel den Nullring gibt, gibt es nämlich keinen "Nullkörper".
Des weiteren muss bei der Multiplikation die 0 immer rausgenommen werden, denn zu dieser gibt es kein Invereses.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 So 20.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Bei beiden Versionen sollte noch gefordert sein, dass das
> Nullelement ungleich dem Einselement sein muss, so hab ichs
> gelernt.
> Während es so zum Beispiel den Nullring gibt, gibt es
> nämlich keinen "Nullkörper".
> Des weiteren muss bei der Multiplikation die 0 immer
> rausgenommen werden, denn zu dieser gibt es kein
> Invereses.
Ja, so stehts bei uns auch.
Ich wollte die Axiome nicht alle ausschreiben, deshalb hab ichs quasi unterschlagen 
LG Nadine
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> Hallo!
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> > Bei beiden Versionen sollte noch gefordert sein, dass das
> > Nullelement ungleich dem Einselement sein muss, so hab ichs
> > gelernt.
> > Während es so zum Beispiel den Nullring gibt, gibt es
> > nämlich keinen "Nullkörper".
> > Des weiteren muss bei der Multiplikation die 0 immer
> > rausgenommen werden, denn zu dieser gibt es kein
> > Invereses.
>
> Ja, so stehts bei uns auch.
>
> Ich wollte die Axiome nicht alle ausschreiben, deshalb hab
> ichs quasi unterschlagen
Bei Axiomen ist dies halt schon, gelinde gesagt, heikel !
Gruß Al-Chw.
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