Körpererw., Minimalpolynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:58 Do 06.01.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung, $a [mm] \in [/mm] L, [mm] \phi_a: [/mm] L [mm] \to [/mm] L, x [mm] \mapsto [/mm] ax$ K-Vektorraumhomomorphismus. Man zeige:
(i) Das Minimalpolynom von a über K [mm] ($min_K(a)$) [/mm] ist gleich dem Minimalpolynom [mm] ($\chi^{min}_{\phi_a}$) [/mm] des K-Vektorraumhomomorphismus [mm] $\phi_a$.
[/mm]
(ii) Gilt L = K(a), so stimmt das Minimalpolynom von an über K mit dem charakteristischen Polynom [mm] ($\chi^{char}_{\phi_a}$) [/mm] von [mm] $\phi_a$ [/mm] überein.
(iii) [mm] $\chi^{char}_{\phi_a}$ [/mm] ist eine Potenz von [mm] $min_K(a)$. [/mm] |
Hallo,
ich habe Lösungen zu den Aufgabenteilen (i) und (ii), über die jemand mal drüber schauen könnte, ob alles stimmt. In Teil (iii) hänge ich fest.
(i) [mm] $\chi^{min}_{\phi_a}$ [/mm] ist das normierte Polynom kleinsten Grades aus $K[X]$, das [mm] $\phi_a$ [/mm] annuliert. [mm] $\Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] L: 0 = [mm] \chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a(x)) [/mm] = [mm] \chi^{min}_{\phi_a}(ax)$
[/mm]
Da insbesondere $1 [mm] \in [/mm] L$ gilt: [mm] $\chi^{min}_{\phi_a}(a) [/mm] = 0$.
Darüber hinaus ist [mm] $\chi^{min}_{\phi_a}$ [/mm] irreduzibel aufgrund der Minimalitätsbedinung.
[mm] $min_K(a)$ [/mm] ist Erzeuger des Kerns der Einsetungshomomorphismus $K[X] [mm] \to [/mm] K[a], f [mm] \mapsto [/mm] f(a)$. Damit ist [mm] $\chi^{min}_{\phi_a} \in (min_K(a))$ [/mm] und damit [mm] $\chi^{min}_{\phi_a} [/mm] = [mm] min_K(a)$, [/mm] da [mm] $\chi^{min}_{\phi_a}$ [/mm] irreduzibel und der Kern des Einsetzungshom. nicht 0 ist, sonst wäre a nicht algebraisch über K, aber alle endlichen Erweiterungen sind algebraisch.
(ii) Sein $n:= deg [mm] \: min_K(a) \Rightarrow (1,a,a^2,\ldots,a^{n-1})$ [/mm] ist Basis des K-Vektorraums $L=K(a) [mm] \Rightarrow [/mm] deg [mm] \: \chi^{char}_{\phi_a} [/mm] = n$.
Nach (i) gilt [mm] $min_K(a) [/mm] = [mm] \chi^{min}_{\phi_a} \: [/mm] | [mm] \: \chi^{char}_{\phi_a}$. [/mm] Da sowohl [mm] $min_K(a)$ [/mm] also auch [mm] $\chi^{char}_{\phi_a}$ [/mm] normiert sind folgt damit [mm] $min_K(a) [/mm] = [mm] \chi^{char}_{\phi_a}$.
[/mm]
(iii) Da $L/K$ endlich ist, gilt: $[L:K] = [L:K(a)][K(a):K]$
Es ist $[L:K] = [mm] dim_K \: [/mm] L = deg [mm] \: \chi^{char}_{\phi_a}$ [/mm] und $[K(a):K] = deg [mm] \: min_K(a) \Rightarrow [/mm] deg [mm] \: \chi^{char}_{\phi_a} [/mm] = [L:K(a)] [mm] \; [/mm] deg [mm] \: min_K(a) \Rightarrow$ [/mm] da nach (i) [mm] $\chi^{min}_{\phi_a} [/mm] = [mm] min_K(a)$ [/mm] folgt [mm] $min_K(a) \: |\: \chi^{char}_{\phi_a}$.
[/mm]
Damit habe ich, dass das charakteristische Polynom ein Vielfaches des Minimalpolynoms ist und der Grad des char. ein Vielfaches des Grads des Minimalpolynoms ist. Wie kann ich nun zeigen, dass [mm] $\chi^{char}_{\phi_a}$ [/mm] nicht noch weitere Teiler hat?
Vielen dank für die Hilfe und viele Grüße,
Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Fr 07.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel!
> Sei [mm]L/K[/mm] eine endliche Körpererweiterung, [mm]a \in L, \phi_a: L \to L, x \mapsto ax[/mm]
> K-Vektorraumhomomorphismus. Man zeige:
> (i) Das Minimalpolynom von a über K ([mm]min_K(a)[/mm]) ist gleich
> dem Minimalpolynom ([mm]\chi^{min}_{\phi_a}[/mm]) des
> K-Vektorraumhomomorphismus [mm]\phi_a[/mm].
> (ii) Gilt L = K(a), so stimmt das Minimalpolynom von an
> über K mit dem charakteristischen Polynom
> ([mm]\chi^{char}_{\phi_a}[/mm]) von [mm]\phi_a[/mm] überein.
> (iii) [mm]\chi^{char}_{\phi_a}[/mm] ist eine Potenz von [mm]min_K(a)[/mm].
>
> ich habe Lösungen zu den Aufgabenteilen (i) und (ii),
> über die jemand mal drüber schauen könnte, ob alles
> stimmt. In Teil (iii) hänge ich fest.
>
> (i) [mm]\chi^{min}_{\phi_a}[/mm] ist das normierte Polynom kleinsten
> Grades aus [mm]K[X][/mm], das [mm]\phi_a[/mm] annuliert. [mm]\Rightarrow \forall x \in L: 0 = \chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a(x)) = \chi^{min}_{\phi_a}(ax)[/mm]
Das stimmt so nicht. Es gilt [mm] $\chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a) [/mm] = 0$, aber nicht [mm] $\chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a(x)) [/mm] = 0$ fuer jedes $x [mm] \in [/mm] L$! Aber das brauchst du auch gar nicht.
> Da insbesondere [mm]1 \in L[/mm] gilt: [mm]\chi^{min}_{\phi_a}(a) = 0[/mm].
Rechne doch einfach mal [mm] $(\chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a))(x)$ [/mm] auf zwei verschiedene Arten aus (das ist ja ein $K$-Endomorphismus von $L$, also kannst du es in $x [mm] \in [/mm] L$ auswerten) und setze $x = 1$ ein. Dann bekommst du ebenfalls [mm] $\chi^{min}_{\phi_a}(a) [/mm] = 0$.
> Darüber hinaus ist [mm]\chi^{min}_{\phi_a}[/mm] irreduzibel
> aufgrund der Minimalitätsbedinung.
Wieso das? Das stimmt doch gar nicht. Minimalpolynome von linearen Abbildungen sind i.A. nicht irreduzibel!
> [mm]min_K(a)[/mm] ist Erzeuger des Kerns der
> Einsetungshomomorphismus [mm]K[X] \to K[a], f \mapsto f(a)[/mm].
> Damit ist [mm]\chi^{min}_{\phi_a} \in (min_K(a))[/mm] und damit
> [mm]\chi^{min}_{\phi_a} = min_K(a)[/mm], da [mm]\chi^{min}_{\phi_a}[/mm]
> irreduzibel und der Kern des Einsetzungshom. nicht 0 ist,
> sonst wäre a nicht algebraisch über K, aber alle
> endlichen Erweiterungen sind algebraisch.
Mach es doch einfacher. Rechne nach: fuer ein beliebiges Polynom $f$ gilt $f(a) = 0 [mm] \Leftrightarrow f(\phi_a) [/mm] = 0$. Daraus folgt das doch direkt Anhand der Definitionen des Minimalpolynoms von Endomorpihsmen bzw. algebraischen Elementen.
Sei $f = [mm] \sum_{i=0}^t a_i X^i \in [/mm] K[X]$. Dann ist $f(a) = [mm] \sum_{i=0}^t a_i a^i$, [/mm] und fuer alle $x [mm] \in [/mm] L$ gilt [mm] $f(\phi_a)(x) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^t a_i \phi_a^i(x) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^t a_i \phi_{a^i}(x) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^t a_i a^i [/mm] x$. Wann genau ist dies fuer alle $x [mm] \in [/mm] L$ gleich 0?
> (ii) Sein [mm]n:= deg \: min_K(a) \Rightarrow (1,a,a^2,\ldots,a^{n-1})[/mm]
> ist Basis des K-Vektorraums [mm]L=K(a) \Rightarrow deg \: \chi^{char}_{\phi_a} = n[/mm].
> Nach (i) gilt [mm]min_K(a) = \chi^{min}_{\phi_a} \: | \: \chi^{char}_{\phi_a}[/mm].
> Da sowohl [mm]min_K(a)[/mm] also auch [mm]\chi^{char}_{\phi_a}[/mm] normiert
> sind folgt damit [mm]min_K(a) = \chi^{char}_{\phi_a}[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (iii) Da [mm]L/K[/mm] endlich ist, gilt: [mm][L:K] = [L:K(a)][K(a):K][/mm]
>
> Es ist [mm][L:K] = dim_K \: L = deg \: \chi^{char}_{\phi_a}[/mm] und
> [mm][K(a):K] = deg \: min_K(a) \Rightarrow deg \: \chi^{char}_{\phi_a} = [L:K(a)] \; deg \: min_K(a) \Rightarrow[/mm]
> da nach (i) [mm]\chi^{min}_{\phi_a} = min_K(a)[/mm] folgt [mm]min_K(a) \: |\: \chi^{char}_{\phi_a}[/mm].
>
> Damit habe ich, dass das charakteristische Polynom ein
> Vielfaches des Minimalpolynoms ist und der Grad des char.
> ein Vielfaches des Grads des Minimalpolynoms ist. Wie kann
> ich nun zeigen, dass [mm]\chi^{char}_{\phi_a}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nicht noch
> weitere Teiler hat?
Einmal kannst du die lineare Algebra bemuehen: dort zeigt man irgendwann, dass das char. Polynom die gleichen Primteiler hat wie das Minimalpolynom.
Oder du kannst das ganze anders per linearer Algebra angehen: sei $v_1, \dots, v_n$ eine $K$-Basis von $K(\alpha)$, und sei $w_1, \dots, w_k$ eine $K(\alpha)$-Basis von $L$. Dann ist ja $(v_i w_j)_{i,j}$ eine $K$-Basis von $L$. Sei $A$ die Matrix, die $\phi_a|_{K(\alpha)}$ bzgl. der Basis $v_1, \dots, v_n$ beschreibt. Ueberlege dir, dass die Matrix von $\phi_a$ bzgl. der Basis $v_i w_j$ die Form $\pmat{ A & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & A }$ hat.
Daraus folgt sofort $\chi_{\phi_a}^{char} = (\chi_{\phi_a|_{K(\alpha)}^{char})^k = min_K(a)^k$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:04 Di 01.03.2011 | | Autor: | Lippel |
So, hab mich nach längerer Zeit nochmal mit der Aufgabe beschäftigt.
> > Sei [mm]L/K[/mm] eine endliche Körpererweiterung, [mm]a \in L, \phi_a: L \to L, x \mapsto ax[/mm]
> > K-Vektorraumhomomorphismus. Man zeige:
> > (i) Das Minimalpolynom von a über K ([mm]min_K(a)[/mm]) ist
> gleich
> > dem Minimalpolynom ([mm]\chi^{min}_{\phi_a}[/mm]) des
> > K-Vektorraumhomomorphismus [mm]\phi_a[/mm].
> > (ii) Gilt L = K(a), so stimmt das Minimalpolynom von an
> > über K mit dem charakteristischen Polynom
> > ([mm]\chi^{char}_{\phi_a}[/mm]) von [mm]\phi_a[/mm] überein.
> > (iii) [mm]\chi^{char}_{\phi_a}[/mm] ist eine Potenz von
> [mm]min_K(a)[/mm].
> >
> > ich habe Lösungen zu den Aufgabenteilen (i) und (ii),
> > über die jemand mal drüber schauen könnte, ob alles
> > stimmt. In Teil (iii) hänge ich fest.
> >
> > (i) [mm]\chi^{min}_{\phi_a}[/mm] ist das normierte Polynom kleinsten
> > Grades aus [mm]K[X][/mm], das [mm]\phi_a[/mm] annuliert. [mm]\Rightarrow \forall x \in L: 0 = \chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a(x)) = \chi^{min}_{\phi_a}(ax)[/mm]
>
> Das stimmt so nicht. Es gilt [mm]\chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a) = 0[/mm],
> aber nicht [mm]\chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a(x)) = 0[/mm] fuer jedes [mm]x \in L[/mm]!
> Aber das brauchst du auch gar nicht.
Ok, sehe das jetzt: z.B. $a^2x = [mm] (\phi_a)^2(x) \not= (\phi_a(x))^2 [/mm] = [mm] a^2x^2$, [/mm] es ist also: $ [mm] (\chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a))(x) \not= \chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a(x))$
[/mm]
>
> > Da insbesondere [mm]1 \in L[/mm] gilt: [mm]\chi^{min}_{\phi_a}(a) = 0[/mm].
>
> Rechne doch einfach mal [mm](\chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a))(x)[/mm]
> auf zwei verschiedene Arten aus (das ist ja ein
> [mm]K[/mm]-Endomorphismus von [mm]L[/mm], also kannst du es in [mm]x \in L[/mm]
> auswerten) und setze [mm]x = 1[/mm] ein. Dann bekommst du ebenfalls
> [mm]\chi^{min}_{\phi_a}(a) = 0[/mm].
>
> > Darüber hinaus ist [mm]\chi^{min}_{\phi_a}[/mm] irreduzibel
> > aufgrund der Minimalitätsbedinung.
>
> Wieso das? Das stimmt doch gar nicht. Minimalpolynome von
> linearen Abbildungen sind i.A. nicht irreduzibel!
Ja... kein weiterer Kommentar dazu^^
> > [mm]min_K(a)[/mm] ist Erzeuger des Kerns der
> > Einsetungshomomorphismus [mm]K[X] \to K[a], f \mapsto f(a)[/mm].
> > Damit ist [mm]\chi^{min}_{\phi_a} \in (min_K(a))[/mm] und damit
> > [mm]\chi^{min}_{\phi_a} = min_K(a)[/mm], da [mm]\chi^{min}_{\phi_a}[/mm]
> > irreduzibel und der Kern des Einsetzungshom. nicht 0 ist,
> > sonst wäre a nicht algebraisch über K, aber alle
> > endlichen Erweiterungen sind algebraisch.
>
> Mach es doch einfacher. Rechne nach: fuer ein beliebiges
> Polynom [mm]f[/mm] gilt [mm]f(a) = 0 \Leftrightarrow f(\phi_a) = 0[/mm].
> Daraus folgt das doch direkt Anhand der Definitionen des
> Minimalpolynoms von Endomorpihsmen bzw. algebraischen
> Elementen.
>
> Sei [mm]f = \sum_{i=0}^t a_i X^i \in K[X][/mm]. Dann ist [mm]f(a) = \sum_{i=0}^t a_i a^i[/mm],
> und fuer alle [mm]x \in L[/mm] gilt [mm]f(\phi_a)(x) = \sum_{i=0}^t a_i \phi_a^i(x) = \sum_{i=0}^t a_i \phi_{a^i}(x) = \sum_{i=0}^t a_i a^i x[/mm].
> Wann genau ist dies fuer alle [mm]x \in L[/mm] gleich 0?
[mm] $\sum_{i=0}^t a_i a^i=0$ [/mm] muss gelten, damit das für alle x 0 wird. Damit ist man ja schon fertig. Danke!
> > (ii) Sein [mm]n:= deg \: min_K(a) \Rightarrow (1,a,a^2,\ldots,a^{n-1})[/mm]
> > ist Basis des K-Vektorraums [mm]L=K(a) \Rightarrow deg \: \chi^{char}_{\phi_a} = n[/mm].
>
> > Nach (i) gilt [mm]min_K(a) = \chi^{min}_{\phi_a} \: | \: \chi^{char}_{\phi_a}[/mm].
> > Da sowohl [mm]min_K(a)[/mm] also auch [mm]\chi^{char}_{\phi_a}[/mm] normiert
> > sind folgt damit [mm]min_K(a) = \chi^{char}_{\phi_a}[/mm].
>
>
>
> > (iii) Da [mm]L/K[/mm] endlich ist, gilt: [mm][L:K] = [L:K(a)][K(a):K][/mm]
>
> >
> > Es ist [mm][L:K] = dim_K \: L = deg \: \chi^{char}_{\phi_a}[/mm] und
> > [mm][K(a):K] = deg \: min_K(a) \Rightarrow deg \: \chi^{char}_{\phi_a} = [L:K(a)] \; deg \: min_K(a) \Rightarrow[/mm]
> > da nach (i) [mm]\chi^{min}_{\phi_a} = min_K(a)[/mm] folgt [mm]min_K(a) \: |\: \chi^{char}_{\phi_a}[/mm].
>
> >
> > Damit habe ich, dass das charakteristische Polynom ein
> > Vielfaches des Minimalpolynoms ist und der Grad des char.
> > ein Vielfaches des Grads des Minimalpolynoms ist. Wie kann
> > ich nun zeigen, dass [mm]\chi^{char}_{\phi_a}[/mm] nicht noch
> > weitere Teiler hat?
>
> Einmal kannst du die lineare Algebra bemuehen: dort zeigt
> man irgendwann, dass das char. Polynom die gleichen
> Primteiler hat wie das Minimalpolynom.
Das haben wir in LA gemacht, ja. Aber hier sehe ich dann noch nicht direkt, dass die Potenzen der Primteiler des charakteristischen Polynoms jeweils gleiche Vielfache der Potenzen der Primteiler des Minimalpolynoms sind, oder? (ich hoffe es ist verständlich, was ich meine)
>
> Oder du kannst das ganze anders per linearer Algebra
> angehen: sei [mm]v_1, \dots, v_n[/mm] eine [mm]K[/mm]-Basis von [mm]K(\alpha)[/mm],
> und sei [mm]w_1, \dots, w_k[/mm] eine [mm]K(\alpha)[/mm]-Basis von [mm]L[/mm]. Dann
> ist ja [mm](v_i w_j)_{i,j}[/mm] eine [mm]K[/mm]-Basis von [mm]L[/mm]. Sei [mm]A[/mm] die
> Matrix, die [mm]\phi_a|_{K(\alpha)}[/mm] bzgl. der Basis [mm]v_1, \dots, v_n[/mm]
> beschreibt. Ueberlege dir, dass die Matrix von [mm]\phi_a[/mm] bzgl.
> der Basis [mm]v_i w_j[/mm] die Form [mm]\pmat{ A & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & A }[/mm]
> hat.
Hat die Matrix nicht einfach die Gestalt:
[mm]\pmat{ a & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & a }[/mm]
ganz egal bezüglich welcher Basis? Dann wäre man bereits fertig, da dann mit den von dir gewählten Bezeichnungen gilt: [mm] $\chi_{\phi_a}^{min} [/mm] = [mm] (X-a)^n$, [/mm] da $n = [mm] dim_K(K(a))$ [/mm] und [mm] $\chi_{\phi_a}^{char} [/mm] = [mm] \left(\chi_{\phi_a}^{min}\right)^m=(X-a)^{nm}$, [/mm] da [mm] $m=dim_{K(\alpha)}(L)$ [/mm] und damit, da [mm] $min_K(a) [/mm] = [mm] \chi_{\phi_a}^{min}: \chi_{\phi_a}^{char} [/mm] = [mm] (min_K(a))^m$
[/mm]
Stimmt das?
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Mo 07.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Das stimmt so nicht. Es gilt [mm]\chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a) = 0[/mm],
> > aber nicht [mm]\chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a(x)) = 0[/mm] fuer jedes [mm]x \in L[/mm]!
> > Aber das brauchst du auch gar nicht.
>
> Ok, sehe das jetzt: z.B. [mm]a^2x = (\phi_a)^2(x) \not= (\phi_a(x))^2 = a^2x^2[/mm],
> es ist also: [mm](\chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a))(x) \not= \chi^{min}_{\phi_a}(\phi_a(x))[/mm]
> > > Damit habe ich, dass das charakteristische Polynom ein
> > > Vielfaches des Minimalpolynoms ist und der Grad des char.
> > > ein Vielfaches des Grads des Minimalpolynoms ist. Wie kann
> > > ich nun zeigen, dass [mm]\chi^{char}_{\phi_a}[/mm] nicht noch
> > > weitere Teiler hat?
> >
> > Einmal kannst du die lineare Algebra bemuehen: dort zeigt
> > man irgendwann, dass das char. Polynom die gleichen
> > Primteiler hat wie das Minimalpolynom.
>
> Das haben wir in LA gemacht, ja. Aber hier sehe ich dann
> noch nicht direkt, dass die Potenzen der Primteiler des
> charakteristischen Polynoms jeweils gleiche Vielfache der
> Potenzen der Primteiler des Minimalpolynoms sind, oder?
> (ich hoffe es ist verständlich, was ich meine)
Ja, allerdings ist das Minimalpolynom irreduzibel (also prim). Damit ist das char. Polynom einfach eine Potenz davon, da es nur genau einen Primteiler gibt.
> > Oder du kannst das ganze anders per linearer Algebra
> > angehen: sei [mm]v_1, \dots, v_n[/mm] eine [mm]K[/mm]-Basis von [mm]K(\alpha)[/mm],
> > und sei [mm]w_1, \dots, w_k[/mm] eine [mm]K(\alpha)[/mm]-Basis von [mm]L[/mm]. Dann
> > ist ja [mm](v_i w_j)_{i,j}[/mm] eine [mm]K[/mm]-Basis von [mm]L[/mm]. Sei [mm]A[/mm] die
> > Matrix, die [mm]\phi_a|_{K(\alpha)}[/mm] bzgl. der Basis [mm]v_1, \dots, v_n[/mm]
> > beschreibt. Ueberlege dir, dass die Matrix von [mm]\phi_a[/mm] bzgl.
> > der Basis [mm]v_i w_j[/mm] die Form [mm]\pmat{ A & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & A }[/mm]
> > hat.
>
> Hat die Matrix nicht einfach die Gestalt:
> [mm]\pmat{ a & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & a }[/mm]
> ganz egal
> bezüglich welcher Basis?
Wenn $a [mm] \in [/mm] K$ liegt schon, ansonsten nicht, da die Eintraege der Matrix aus $K$ sein muessen 
> Dann wäre man bereits fertig, da
> dann mit den von dir gewählten Bezeichnungen gilt:
> [mm]\chi_{\phi_a}^{min} = (X-a)^n[/mm], da [mm]n = dim_K(K(a))[/mm] und
> [mm]\chi_{\phi_a}^{char} = \left(\chi_{\phi_a}^{min}\right)^m=(X-a)^{nm}[/mm],
> da [mm]m=dim_{K(\alpha)}(L)[/mm] und damit, da [mm]min_K(a) = \chi_{\phi_a}^{min}: \chi_{\phi_a}^{char} = (min_K(a))^m[/mm]
>
> Stimmt das?
Falls $a [mm] \in [/mm] K$ liegt, ja :) Aber das ist der triviale Fall.
Mal ein Beispiel: $L = [mm] \IQ(\sqrt{2})$, [/mm] dann ist $1, [mm] \sqrt{2}$ [/mm] eine $K := [mm] \IQ$-Basis [/mm] von $L$. Sei [mm] $\alpha [/mm] = 1 + [mm] \sqrt{2}$. [/mm] Dann gilt [mm] $\alpha \cdot [/mm] 1 = [mm] \alpha [/mm] = 1 + [mm] \sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $\alpha \cdot \sqrt{2} [/mm] = 2 + [mm] \sqrt{2}$. [/mm] Damit ist die Matrix gleich [mm] $\pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 1 }$ [/mm] (oder so), mit char. Polynom $(x - [mm] 1)^2 [/mm] - 2 = [mm] x^2 [/mm] - 2 x - 1$.
Dieses Polynom hat [mm] $\alpha$ [/mm] als Nullstelle (wie man schnell nachrechnet) und ist irreduzibel (folgt daraus dass das MiPo von [mm] $\alpha$ [/mm] Grad 2 haben muss, da [mm] $\alpha \not\in \IQ$ [/mm] ist, und da dieses Polynom Grad 2 hat, normiert ist und [mm] $\alpha$ [/mm] als Nullstelle hat).
LG Felix
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