Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Fr 10.01.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] d=[\IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2}):\IQ]. [/mm] Finden Sie ein [mm] \alpha \in \IC, [/mm] so dass [mm] \IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2})=\IQ(\alpha) [/mm] gilt und bestimmen Sie ein Polynom vom Grad d, das dieses [mm] \alpha [/mm] als Nullstelle hat. |
Hallo, 
habe bis jetzt folgendes geschrieben:
Es gilt [mm] \IQ \subset \IQ(\wurzel{2}) \subset \IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2}).
[/mm]
Der Grad berechnet sich wie folgt: [mm] [\IQ(\wurzel{2}):\IQ]*[\IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2}):\IQ(\wurzel{2})]
[/mm]
[mm] dim_{\IQ}(\IQ(\wurzel{2}))=2, [/mm] denn [mm] \mathcal{B}=\{1,\wurzel{2}\} [/mm] eine Basis und [mm] dim_{\IQ(\wurzel{2})}(\IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2}))=2, [/mm] denn [mm] \mathcal{C}=\{1,i\} [/mm] eine Basis.
Also beträgt der Grad der Körpererweiterung [mm] d=[\IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2}):\IQ] [/mm] = 2*2=4.
Bei der nächsten Teilfrage nehme ich an, dass ein [mm] \alpha \in \IC [/mm] z.B. [mm] \wurzel{2}+i\wurzel{2} [/mm] wäre. Weiss nur nicht so richtig, wie ich das begründen soll.
Und das Polynom f(x) [mm] \in \IQ[x] [/mm] wäre z.B. dann f(x)= [mm] x^{4}+16.
[/mm]
Würde mich über Tipps, Korrekturen freuen
Viele Grüße
Topologe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Fr 10.01.2014 | | Autor: | hippias |
Mein Tip: Vermutlich habt ihr einen Zusammenhang zwischen dem Grad einer einfachen algebraischen Erweiterung [mm] $K(\alpha)$ [/mm] ueber einem Koerper $K$ und dem Grad des Minimalpolynoms von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber $K$ besprochen; diesen koennte man hier versuchen anzuwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Topologe |
Ne, so etwas in dieser Art haben wir leider nicht in der Vorlesung besprochen...
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 So 12.01.2014 | | Autor: | hippias |
Kein Problem bzw. ich hoffe, dass Du gut aufgepasst hast 
Du weisst ja, dass fuer [mm] $\alpha= \sqrt{2}+i\sqrt{2}$ [/mm] der Koerper [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] von [mm] $1$,\ldots, $\alpha^{3}$ [/mm] aufgespannt wird. Um $dim [mm] \IQ(\alpha)= [/mm] 4$ zu zeigen, musst Du zeigen, dass dieses Erzeugendensystem linear unabhaengig ist. Und wenn es Dir hilft: Aequivalent dazu ist, dass es kein Polynom [mm] $\neq [/mm] 0$ kleineren Grades als $4$ gibt, das [mm] $\alpha$ [/mm] als Nullstelle hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Topologe |
Ok, danke
also könnte man doch folgenden Weg gehen:
Sei f(x)= [mm] x^{4}+16
[/mm]
f ist normiert, [mm] f(\alpha)=0 [/mm] und irreduzibel über [mm] \IQ, [/mm] da gem. Reduktionskriterium gilt:
[mm] \overline{f}=x^{4}+2 \in \IZ_{7}[x]
[/mm]
Gem. Eisensteinkriterium mit p=2 folgt Irreduzibelität
[mm] \Rightarrow [/mm] f Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] über [mm] \IQ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert kein Polynom p, grad p < 4, mit [mm] p(\alpha)=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] dim [mm] \IQ(\alpha) [/mm] = 4
[mm] \Rightarrow [/mm] Da gilt [mm] \IQ(\alpha) \subseteq \IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2}) [/mm] und dim [mm] \IQ(\alpha)=dim \IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2}) [/mm] folgt [mm] \IQ(\alpha)=\IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2})
[/mm]
Eine Frage habe ich ja doch noch: Habe da jetzt mal so behauptet, dass gilt dim [mm] \IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2})=4 [/mm]
Aber die Basis wäre doch [mm] \mathcal{B}=\{1,\wurzel{2},i\} [/mm] oder wo ist mein Gedankenfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Di 14.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Ok, danke
>
> also könnte man doch folgenden Weg gehen:
>
> Sei f(x)= [mm]x^{4}+16[/mm]
> f ist normiert, [mm]f(\alpha)=0[/mm] und irreduzibel über [mm]\IQ,[/mm] da
> gem. Reduktionskriterium gilt:
> [mm]\overline{f}=x^{4}+2 \in \IZ_{7}[x][/mm]
> Gem.
> Eisensteinkriterium mit p=2 folgt Irreduzibelität
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert kein Polynom p, grad p < 4, mit
> [mm]p(\alpha)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim [mm]\IQ(\alpha)[/mm] = 4
Das ist das Lemma, das ich in einer vorherigen Mitteilung meinte.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Da gilt [mm]\IQ(\alpha) \subseteq \IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2})[/mm]
> und dim [mm]\IQ(\alpha)=dim \IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2})[/mm] folgt
> [mm]\IQ(\alpha)=\IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2})[/mm]
>
> Eine Frage habe ich ja doch noch: Habe da jetzt mal so
> behauptet, dass gilt dim [mm]\IQ(\wurzel{2},\wurzel{-2})=4[/mm]
> Aber die Basis wäre doch [mm]\mathcal{B}=\{1,\wurzel{2},i\}[/mm]
> oder wo ist mein Gedankenfehler?
Du kannst z.B. nicht [mm] $i\sqrt{2}$ [/mm] als eine [mm] $\IQ$-Linearkombination [/mm] von Elementen aus $B$ darstellen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Do 16.01.2014 | | Autor: | Topologe |
Achsoo, also wäre [mm] \mathcal{B}=\{1,i,\wurzel{2},i\wurzel{2}\}, [/mm] also dim = 4
Vielen Dank für die Hilfe
LG
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