Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Do 23.01.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Sei [mm] \zeta_{n} \in \IC [/mm] eine primitive n-te Einheitswurzel, n [mm] \ge [/mm] 3. Beweisen Sie:
[mm] [\IQ(\zeta):\IQ(\zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1}]=2 [/mm] |
Hallo,
komme bei dieser Aufgabe irgendwie gar nicht so richtig weiter..
Habe versucht an den Einheitswurzeln ein bisschen rumzuspielen, aber irgendwie kommt mir keine zündende Idee..
[mm] \zeta [/mm] = [mm] exp(\bruch{2i\pi}{n}), \zeta^{-1} [/mm] = [mm] exp(\bruch{-2i\pi}{n})
[/mm]
Und dann Sackgasse.. Hat jemand zufällig einen Tipp?
LG,
Topologe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Do 23.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei [mm]\zeta_{n} \in \IC[/mm] eine primitive n-te Einheitswurzel, n
> [mm]\ge[/mm] 3. Beweisen Sie:
> [mm][\IQ(\zeta):\IQ(\zeta[/mm] + [mm]\zeta^{-1}]=2[/mm]
> Hallo,
>
> komme bei dieser Aufgabe irgendwie gar nicht so richtig
> weiter..
>
> Habe versucht an den Einheitswurzeln ein bisschen
> rumzuspielen, aber irgendwie kommt mir keine zündende
> Idee..
>
> [mm]\zeta[/mm] = [mm]exp(\bruch{2i\pi}{n}), \zeta^{-1}[/mm] =
> [mm]exp(\bruch{-2i\pi}{n})[/mm]
>
> Und dann Sackgasse.. Hat jemand zufällig einen Tipp?
beachte, dass [mm] $\zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1}$ [/mm] reell ist (warum?). Daraus folgt schonmal, dass der Koerpererweiterungsgrad mindestens 2 ist (warum?). Jetzt musst du nur noch zeigen dass er hoechstens zwei ist, etwa indem du ein Polynom in [mm] $\IQ[\zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1}]$ [/mm] angibst, welches [mm] $\zeta$ [/mm] als Nullstelle hat; ein solches ist aber recht einfach zu finden.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Fr 24.01.2014 | | Autor: | Topologe |
Moin,
danke für den Tipp!
also [mm] \zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1} [/mm] reell, weil gilt:
[mm] \zeta [/mm] = [mm] exp(\bruch{2i\pi}{n}) [/mm] = [mm] cos(\bruch{2\pi}{n})+i*sin(\bruch{2\pi}{n})
[/mm]
[mm] \zeta^{-1}=exp(\bruch{-2i\pi}{n})=cos(\bruch{-2\pi}{n})+i*sin(\bruch{-2\pi}{n})
[/mm]
Da cos(x) achsensymmetrisch und sin(x) punktsymmetrisch folgt:
[mm] cos(\bruch{2\pi}{n})=cos(\bruch{-2\pi}{n}) [/mm] und [mm] sin(\bruch{-2\pi}{n})=-sin(\bruch{2\pi}{n}), [/mm] also
[mm] \zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1} [/mm] = [mm] cos(\bruch{2\pi}{n})+i*sin(\bruch{2\pi}{n})+cos(\bruch{2\pi}{n})-i*sin(\bruch{2\pi}{n})=2cos(\bruch{2\pi}{n}) \in \IR
[/mm]
Körpererweiterungsgrad muss mind. 2 sein, da [mm] \IQ(\zeta) \in \IC [/mm] und [mm] \IQ(\zeta+\zeta^{-1}) \in \IR [/mm] und es gilt: [mm] [\IC [/mm] : [mm] \IR] [/mm] = [mm] [\IR[x]/(x^{2}+1) [/mm] : [mm] \IR] [/mm] = 2
Ja, das mit dem Polynom war recht mühsam.. ich schreibe mal meine Zwischenschritte auf:
[mm] (\zeta [/mm] - [mm] cos(\bruch{2\pi}{n}))^{2} [/mm] = [mm] (i*sin(\bruch{2\pi}{n}))^{2}=-sin^{2}(\bruch{2\pi}{n})=cos^{2}(\bruch{2\pi}{n})-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\zeta [/mm] - [mm] cos(\bruch{2\pi}{n}))^{2}-cos^{2}(\bruch{2\pi}{n})+1=0
[/mm]
Also [mm] f(x)=x^{2}-2cos(\bruch{2\pi}{n})x+cos^{2}(\bruch{2\pi}{n})-cos^{2}(\bruch{2\pi}{n})+1=x^{2}-2cos(\bruch{2\pi}{n})x+1 [/mm] wäre ein Polynom f [mm] \in \IQ(\zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1}) [/mm] mit [mm] f(\zeta)=0
[/mm]
Wäre das so ok?
LG,
Topologe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Fr 24.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> danke für den Tipp!
>
> also [mm]\zeta[/mm] + [mm]\zeta^{-1}[/mm] reell, weil gilt:
>
> [mm]\zeta[/mm] = [mm]exp(\bruch{2i\pi}{n})[/mm] =
> [mm]cos(\bruch{2\pi}{n})+i*sin(\bruch{2\pi}{n})[/mm]
>
> [mm]\zeta^{-1}=exp(\bruch{-2i\pi}{n})=cos(\bruch{-2\pi}{n})+i*sin(\bruch{-2\pi}{n})[/mm]
>
> Da cos(x) achsensymmetrisch und sin(x) punktsymmetrisch
> folgt:
>
> [mm]cos(\bruch{2\pi}{n})=cos(\bruch{-2\pi}{n})[/mm] und
> [mm]sin(\bruch{-2\pi}{n})=-sin(\bruch{2\pi}{n}),[/mm] also
>
> [mm]\zeta[/mm] + [mm]\zeta^{-1}[/mm] =
> [mm]cos(\bruch{2\pi}{n})+i*sin(\bruch{2\pi}{n})+cos(\bruch{2\pi}{n})-i*sin(\bruch{2\pi}{n})=2cos(\bruch{2\pi}{n}) \in \IR[/mm]
ja, aber es geht auch einfacher  Wegen [mm] $|\zeta| [/mm] = 1$ ist [mm] $\zeta^{-1} [/mm] = [mm] \overline{\zeta}$, [/mm] und [mm] $\zeta [/mm] + [mm] \overline{\zeta}$ [/mm] ist fuer jede komplexe Zahl [mm] $\zeta$ [/mm] reell.
> Körpererweiterungsgrad muss mind. 2 sein, da [mm]\IQ(\zeta) \in \IC[/mm]
> und [mm]\IQ(\zeta+\zeta^{-1}) \in \IR[/mm]
Also wenn schon, dann Teilmenge. Aber wegen [mm] $\IR \subsetneqq \IC$ [/mm] sagt das nichts aus.
Schreib doch einfach [mm] $\zeta \in \IC \setminus \IR$, [/mm] aber [mm] $\IQ(\zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1}) \subseteq \IR$. [/mm] Daraus folgt schon, dass [mm] $\IQ(\zeta)$ [/mm] eine echte Obermenge von [mm] $\IQ(\zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1})$ [/mm] ist, womit der Index mindestens 2 sein muss.
> und es gilt: [mm][\IC[/mm] : [mm]\IR][/mm]
> = [mm][\IR[x]/(x^{2}+1)[/mm] : [mm]\IR][/mm] = 2
Das hilft hier nicht weiter.
> Ja, das mit dem Polynom war recht mühsam.. ich schreibe
> mal meine Zwischenschritte auf:
>
> [mm](\zeta[/mm] - [mm]cos(\bruch{2\pi}{n}))^{2}[/mm] =
> [mm](i*sin(\bruch{2\pi}{n}))^{2}=-sin^{2}(\bruch{2\pi}{n})=cos^{2}(\bruch{2\pi}{n})-1[/mm]
> [mm]\Rightarrow (\zeta[/mm] -
> [mm]cos(\bruch{2\pi}{n}))^{2}-cos^{2}(\bruch{2\pi}{n})+1=0[/mm]
> Also
> [mm]f(x)=x^{2}-2cos(\bruch{2\pi}{n})x+cos^{2}(\bruch{2\pi}{n})-cos^{2}(\bruch{2\pi}{n})+1=x^{2}-2cos(\bruch{2\pi}{n})x+1[/mm]
> wäre ein Polynom f [mm]\in \IQ(\zeta[/mm] + [mm]\zeta^{-1})[/mm] mit
> [mm]f(\zeta)=0[/mm]
>
> Wäre das so ok?
Sieht gut aus.
Es geht aber auch hier einfacher: multipliziere [mm] $\zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1}$ [/mm] mit [mm] $\zeta$: [/mm] dann steht da [mm] $\zeta \cdot (\zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1}) [/mm] = [mm] \zeta^2 [/mm] + 1$. Wenn du das umformst, siehst du sofort, dass [mm] $\zeta$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $X^2 [/mm] - [mm] (\zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1}) [/mm] X + 1$ ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Fr 24.01.2014 | | Autor: | Topologe |
Super, vielen Dank!
LG,
Topologe
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