Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 So 25.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Bestimmen Sie für folgende $\alpha$ jeweis $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] und geben Sie das Inverse von $\alpha$ in $\mathbb{Q}(\alpha)$ an.
I) $\alpha=\sqrt[3]{2}-2$
II) $\alpha=\cos(30°)$ |
Hi, ich möchte diese Aufgabe lösen.
zu I)
Der Grad der Körpererweiterung sollte 3 sein mit Minimalpolynom
$T^3-2=0$
Denn $2=(\sqrt[3]{2})^3$, also reicht dies schon als Minimalpolynom aus?
Das Inverse von $\alpha$ ist ja einfach $\frac{1}{\sqrt[3]{2}-2}$ aber es so anzugeben ist nicht genug oder?
Wenn ich den Nenner rational mache, dann muss ich mit $\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+4$ erweitern und komme so auf:
$-\fra16\left(\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+4)$
zu II)
$\cos(30°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Der Grad ist dann ja einfach 2 mit Minimalpolynom
$2T^2-3=0$ und das Inverse müsste einfach
$\alpha^{-1}=\frac2{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Wäre das korrekt?
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Hallo,
in der 1. Ist alpha nicht Nullstelle deines Polynoms. Der Rest dürfte stimmen. Ob die Begründung für die Grade ausreicht, kann ich nicht beurteilen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Mo 26.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Du hast natürlich recht, dass bei I) [mm] $\alpha$ [/mm] keine Nullstelle des Polynoms ist.
Aber ist das zwingend notwendig?
Ich hatte gedacht, dass ich die 2 ja einfach als "Linearkombination" von [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] darstellen kann und das deshalb ausreicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:18 Mo 26.01.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Du hast natürlich recht, dass bei I) [mm]\alpha[/mm] keine
> Nullstelle des Polynoms ist.
Bei II) auch nicht.
> Aber ist das zwingend notwendig?
In dieser Aufgabe nicht, es ist ja nach dem Grad und dem Inversen gefragt.
> Ich hatte gedacht, dass ich die 2 ja einfach als
> "Linearkombination" von [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] darstellen kann und das
> deshalb ausreicht.
Du hast dann genau genommen kein MP angegeben, sondern ein Polynom, dessen Nullstelle den in Rede stehenden Körper erzeugt. Warum stimmen dann die von dir angegebenen Grade?
Gruß aus HH
Dieter
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Stimmt, das habe ich auch übersehen.
Liebe Grüße,
UniversellesObkekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Mo 26.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ich auch, aber mit
[mm] $4T^2-3=0$ [/mm] sollte es klappen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:57 Mo 26.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Weil ich den Grad der Körpererweiterung ja auf zwei verschiedene weisen ermitteln kann.
Entweder über das Minimalpolynom, oder über die Anzahl der notwendigen Basisvektoren.
Und dann reicht das aus, weil ich ein Polynom dritten Grades benötige um [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] zu erzeugen, aber der Rest durch Linearkombinationen davon erzeugt werden kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 28.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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