Körpererweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Di 04.04.2006 | | Autor: | cycilia |
| Aufgabe | | Sei K/k eine endliche Körpererweiterung und a [mm] \in [/mm] K. Zeige, dass, wenn das Minimalpolynom von a ungeraden Grad Grad besitzt gilt: k(a) = [mm] k(a^2) [/mm] |
Es gilt k [mm] \subset [/mm] k(a) [mm] \subseteq k(a^2) \subseteq [/mm] K
da K/k endliche Körpererweiterung => algebraische Körpererweiterung
Es gilt: [mm] [k(a^2):k] [/mm] = [k(a):k] [mm] [k(a^2):k(a)]
[/mm]
mit [k(a):k] = Grad Minimalpolynom, also ungerade.
zu zeigen ist meiner Meinung nach [mm] [k(a^2):k(a)] [/mm] = 1, also dementsprechend: [mm] [k(a^2):k] [/mm] = [k(a):k]
Wie gehe ich das an?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Di 04.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Anja!
Vorab zum Verständnis:
> Es gilt k [mm]\subset[/mm] k(a) [mm]\subseteq k(a^2) \subseteq[/mm] K
Nein! Es ist vielmehr
k [mm]\subseteq[/mm] [mm] k(a^{2})[/mm] [mm]\subseteq[/mm] k(a) [mm]\subseteq[/mm] K
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Di 04.04.2006 | | Autor: | cycilia |
Aehm... ja logisch... durch [mm] a^2 [/mm] nehme ich ja weniger Elemente hinzu.... Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Di 04.04.2006 | | Autor: | cycilia |
Also dann k [mm] \subseteq k(a^2) \subseteq [/mm] k(a) [mm] \subseteq [/mm] K
also [k(a):k] = [mm] [k(a):k(a^2)] [k(a^2):k]
[/mm]
mit [k(a):k] =m ungerade
[mm] [k(a):k(a^2)] [/mm] = m : [mm] [k(a^2):k]
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Di 04.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Anja!
> Sei K/k eine endliche Körpererweiterung und a [mm]\in[/mm] K. Zeige,
> dass, wenn das Minimalpolynom von a ungeraden Grad Grad
> besitzt gilt: k(a) = [mm]k(a^2)[/mm]
Der Grad von k[a] über [mm] k[a^{2}] [/mm] kann nur 2 oder 1 sein. Aber der Grad von k[a] über k ist ungerade, und deswegen ist wegen des Gradsatzes alles klar. Dir auch?
LG
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Di 04.04.2006 | | Autor: | cycilia |
manchmal hab ich ja das gefühl denken fällt mir etwas schwer.... natürlich klar!
|
|
|
|
