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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Sa 26.08.2006 | | Autor: | Imkeje |
Sei K Körper, E Körpererweiterung von K, [mm] e\in [/mm] E transzendent über K.
Wie sieht dann K(e) und K[e] aus?
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K[e] ist das Bild der Auswertungsabbildung des Polynomringes K[X],
besteht also aus endlichen Summen von Produkten der Form [mm] a*e^n [/mm] mit a aus K und n natürlich. K[X] ist ein nullteilerfreier Ring in E. kein Korper.
K(e) ist der Quotientenkörper von K[e], er besteht aus allen Brüchen mit
Elementen aus K[e], Nenner ungleich Null.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Sa 26.08.2006 | | Autor: | Imkeje |
Was ist denn eine Auswertungsabbildung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 So 27.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Imkeje!
> Was ist denn eine Auswertungsabbildung?
Wenn du zwei Ringe $R$ und $S$ und einen Ringhomomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] S$ hast, dann hat der Polynomring $R[x]$ folgende (sogenannte) universelle Eigenschaft:
Ist $s [mm] \in [/mm] S$ ein beliebiges Element, so gibt es genau einen Ringhomomorphismus [mm] $\Phi_s [/mm] : R[x] [mm] \to [/mm] S$ mit [mm] $\Phi_s|_R [/mm] = [mm] \varphi$ [/mm] und [mm] $\Phi_s(x) [/mm] = s$, definiert durch [mm] $\Phi_s(\sum_{i=0}^n a_i x^i) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n \varphi(a_i) s^i$.
[/mm]
Wenn jetzt $S$ ein Erweiterungsring von $R$ ist und [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] S$ die Inklusion, dann gibt es also zu jedem $s [mm] \in [/mm] S$ genau einen Ringhomomorphismus [mm] $\Phi_s [/mm] : R[x] [mm] \to [/mm] S$ mit [mm] $\Phi_s(x) [/mm] = s$ und [mm] $\Phi_s(r) [/mm] = r$ fuer alle $r [mm] \in [/mm] R$. Dieser wird auch der Auswertungsmorphismus oder die Auswertungsabbildung in $s$ genannt, da er das Polynom $f [mm] \in [/mm] R[x]$ auf $f(s)$ abbildet.
In deinem Fall ist die Auswertungsabbildung also $K[x] [mm] \to [/mm] E$, $f [mm] \mapsto [/mm] f(e)$, und dessen Bild ist somit [mm] $\{ f(e) \mid f \in K[x] \}$. [/mm] Das Bild bezeichnet man dann auch mit $K[e]$, da dies ja grad alle polynomiellen Ausdruecke mit $e$ anstatt einer Unbestimmten $x$ sind 
(Im Fall, dass $e$ transzendent ist, ist die Auswertungsabbildung injektiv. Genauer: Sie ist genau dann injektiv, wenn $e$ transzendent ist. Somit ist $K[e]$ isomorph zu $K[x]$.)
Wie nun $K(e)$ aussieht, kannst du ja mal selber versuchen herauszufinden
LG Felix
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