Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Sa 16.01.2010 | | Autor: | StefanK. |
| Aufgabe | Geben Sie eine Galois Körpererweiterung L [mm] \supset [/mm] K an,
und eine Untergruppe G [mm] \subset [/mm] G(L/K), so dass [mm] L^G \supset [/mm] K nicht Galois ist. |
Hallo,
damit [mm] L^G [/mm] nicht Galois ist, muss sie ja entweder nicht normal, nicht separable und/oder nicht endlich sein. Hmm, ich weiß, dass so eine Untergruppe eig. nicht so schwer zu finden sein dürfte, jedoch bin ich ganz unsicher, wie diese aussehen soll. Kann mir da vllt jemand auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank schonmal
Viele Grüße
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Sa 16.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Geben Sie eine Galois Körpererweiterung L [mm]\supset[/mm] K an,
> und eine Untergruppe G [mm]\subset[/mm] G(L/K), so dass [mm]L^G \supset[/mm]
> K nicht Galois ist.
>
> Hallo,
> damit [mm]L^G[/mm] nicht Galois ist, muss sie ja entweder nicht
> normal, nicht separable und/oder nicht endlich sein.
Na, da [mm] $L^G [/mm] / K$ eine Untererweiterung von $L / K$ ist, ist es automatisch ebenfalls endlich und separabel. Das einzige, was also schiefgehen kann, ist dass [mm] $L^G [/mm] / K$ nicht normal ist.
Jetzt habt ihr in der VL aber sicher eine Charakterisierung, wann [mm] $L^G [/mm] / K$ normal ist (falls $L/K$ Galois ist), und zwar darueber was fuer eine Art Untergruppe $G$ von $G(L/K)$ ist. Such mal danach.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 17.01.2010 | | Autor: | StefanK. |
Hey Felix,
danke für deine schnelle Antwort. Wenn ich das hier richtig verstehe, muss die Untergruppe auch noch abelsch sein. D.h. also, dass ich eine Untergruppe benötige, die nicht abelsch ist?!? Wie kann ich die denn hier konkret angeben?
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Mo 18.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> danke für deine schnelle Antwort. Wenn ich das hier
> richtig verstehe, muss die Untergruppe auch noch abelsch
> sein. D.h. also, dass ich eine Untergruppe benötige, die
> nicht abelsch ist?!? Wie kann ich die denn hier konkret
> angeben?
Nein, mit abelsch hat das nichts zu tun. Such mal weiter im Skript.
Ansonsten versuch es dir selber zu ueberlegen. Damit [mm] $L^G [/mm] / K$ normal ist, muss jeder Automorphismus von $L / K$ den Zwischenkoerper [mm] $L^G$ [/mm] in sich selber abbilden. Versuch das mal in eine Eigenschaft von $G$ zu uebersetzen.
LG Felix
|
|
|
|
