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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:35 Sa 17.01.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grad folgender Körpererweiterungen:
I) [mm] $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{5})$
[/mm]
II) [mm] $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{25})$ [/mm] |
Hi,
ich würde gerne den Grad dieser Körpererweiterungen bestimmen.
zu I)
Es ist [mm] $(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2=7+\sqrt{40}$ [/mm]
Also Lösung der Gleichung [mm] $x^2-14x+9=0$
[/mm]
Das Minimalpolynom lautet dann [mm] $x^4-14x^2+9=0$
[/mm]
Hier nun mein erstes Problem.
Das das Minimalpolynom so lautet, hat mir Wolframalpha gesagt.
Das [mm] $\sqrt{2}+\sqrt{5}$ [/mm] eine Lösung der obigen quadratischen Gleichung ist, darauf bin ich selber gekommen, was nicht mehr so schwierig ist.
Wie kann man sich leicht klar machen, dass man die jeweiligen x-Potenzen noch quadrieren muss um das Minimalpolynom zu erhalten?
Der Grad ist dieser Körpererweiterung ist dann natürlich 4.
Gibt es andere Methoden? Wie kann man dies als Vektorraum darstellen?
Zu II)
Ich weiß hier, dass der Grad 3 ist. Das Minimalpolynom ist, laut Wolframalpha,
[mm] $x^3+15x+20$
[/mm]
nur wie kommt man darauf?
Ich mein von diesem Term, bzw. der Gleichung [mm] x^3+15x+20 [/mm] eine Nullstelle zu finden ist nicht so einfach. Genau kriegt man es nur mit der Formel von Cardano. Aber ansonsten würde ich da eher zum Newton-Verfahren greifen. Wie kann ich mir dann herleiten, dass dies die gewünschte Nullstelle hat?
Für quadratische, oder biquadratische Gleichungen finde ich das noch im Rahmen des Möglichen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:18 Sa 17.01.2015 | | Autor: | statler |
Hi,
> Dass $ [mm] \sqrt{2}+\sqrt{5} [/mm] $ eine Lösung der obigen quadratischen Gleichung ist,
Gemeint ist wohl $ [mm] (\sqrt{2}+\sqrt{5})^2 [/mm] $
Dann ist klar, daß die biquadratische Gleichung jedenfalls die richtige Nullstelle hat. Damit bleiben für den Körpergrad nur noch 2 oder 4. Aber bei Grad 2 müßte z. B. [mm] \sqrt{5} \in \IQ(\sqrt{2}) [/mm] sein, also als rationale Linearkombination von 1 und [mm] \sqrt{2} [/mm] darstellbar sein, was zu einem Widerspruch führt. Dass das Polynom irreduzibel ist, folgt z. B. mit dem Eisensteinschen Irreduzibilitätskriterium mit p = 7.
Im 2. Teil ist doch [mm] \wurzel[3]{25} [/mm] = [mm] (\wurzel[3]{5})^2, [/mm] also ist der Körpergrad sofort klar. Und mehr war erstmal nicht gefragt.
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Sa 17.01.2015 | | Autor: | YuSul |
> Hi,
> > Dass [mm]\sqrt{2}+\sqrt{5}[/mm] eine Lösung der obigen
> quadratischen Gleichung ist,
> Gemeint ist wohl [mm](\sqrt{2}+\sqrt{5})^2[/mm]
> Dann ist klar, daß die biquadratische Gleichung
> jedenfalls die richtige Nullstelle hat.
Ja, so war das gemeint.
> Im 2. Teil ist doch [mm]\wurzel[3]{25}[/mm] = [mm](\wurzel[3]{5})^2,[/mm]
> also ist der Körpergrad sofort klar.
Mir ist das leider nicht ganz klar, wieso nun der Körpergrad auf jeden Fall 3 sein muss.
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> > Hi,
> > > Dass [mm]\sqrt{2}+\sqrt{5}[/mm] eine Lösung der obigen
> > quadratischen Gleichung ist,
> > Gemeint ist wohl [mm](\sqrt{2}+\sqrt{5})^2[/mm]
> > Dann ist klar, daß die biquadratische Gleichung
> > jedenfalls die richtige Nullstelle hat.
>
> Ja, so war das gemeint.
>
>
> > Im 2. Teil ist doch [mm]\wurzel[3]{25}[/mm] = [mm](\wurzel[3]{5})^2,[/mm]
> > also ist der Körpergrad sofort klar.
>
> Mir ist das leider nicht ganz klar, wieso nun der
> Körpergrad auf jeden Fall 3 sein muss.
>
Wegen obiger Gleichung liegt dieser Körper jedenfalls in $ [mm] \IQ( \wurzel[3]{5} [/mm] ) $ und der Grad ist somit 1 oder 3.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:10 Sa 17.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ah, weil ich ja einfach [mm] $\sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[3]{5}$
[/mm]
Und offensichtlich ist [mm] $\sqrt[3]{5}$ [/mm] ist eine Lösung von [mm] $x^3-5=0$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 19.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Sa 17.01.2015 | | Autor: | hippias |
Zu der Frage, wie man zu vorgegebenen Koeperelement das Minimalpolynom findet: Bilde Potenzen des Elements bis Du erkennst, dass diese linear abhaengig sind. Das liefert Dir ein Polynom, das das Koeperelement als Wurzel hat. Dann kannst Du versuchen zu zeigen, dass es irreduzibel ist bzw. versuchen einen geeigneten irreduziblen Teiler zu finden.
Bei Dir war [mm] $(\sqrt{2}+\sqrt{5})^{2}= 7+2\sqrt{10}$. [/mm] Folglich ist [mm] $((\sqrt{2}+\sqrt{5})^{2}- 7)^{2}=40$. [/mm] Damit hat [mm] $(t^{2}- 7)^{2}-40= t^{4}-14t^{2}+9$ [/mm] die Wurzel [mm] $\sqrt{2}+\sqrt{5}$.
[/mm]
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:12 Sa 17.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Man quadriert im Grunde also einfach solange, bis man etwas ganzzahliges/rationales erhält.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 19.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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