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| Aufgabe | Sei [mm] K\subsetneq [/mm] L eine nichttriviale Körpererweitung. Zeigen Sie, dass die K-Algebra [mm] A=L\otimes_K [/mm] L kein Körper ist.
Tipp: Betrachten Sie den Ringhomomorphismus [mm] \varphi: A\to [/mm] L, [mm] \lambda\otimes\mu\mapsto\lambda\mu. [/mm] |
Tja, so ein gewisses Grundgerüst eines Beweises habe ich bereits, aber mir fehlen noch einige Details:
Erstmal weiß ich, dass es in einem Körper nur das Null- und das Einsideal gibt. Das bedeutet dann (sauber begründen kann ich es leider nicht), dass [mm] \varphi [/mm] injektiv sein muss.
Aber der Kern von [mm] \varphi [/mm] ist nicht trivial, denn [mm] \lambda\mu [/mm] ist ja schon 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist, also habe ich als Kern alle Elemente, wo ein Teil des Tensors 0 ist. Leider ist der Tensor selbst dann aber auch 0 - darf ich trotzdem so argumentieren?
Da aber [mm] \varphi\not\equiv [/mm] 0, ist A kein Körper.
Wie gesagt, der Weg ist simpel, aber mir fehlen da noch zu viele Details. Kann mir jemand aushelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Do 08.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo dong!
> Sei [mm]K\subsetneq[/mm] L eine nichttriviale Körpererweitung.
> Zeigen Sie, dass die K-Algebra [mm]A=L\otimes_K[/mm] L kein Körper
> ist.
> Tipp: Betrachten Sie den Ringhomomorphismus [mm]\varphi: A\to[/mm]
> L, [mm]\lambda\otimes\mu\mapsto\lambda\mu.[/mm]
> Tja, so ein gewisses Grundgerüst eines Beweises habe ich
> bereits, aber mir fehlen noch einige Details:
>
> Erstmal weiß ich, dass es in einem Körper nur das Null- und
> das Einsideal gibt. Das bedeutet dann (sauber begründen
> kann ich es leider nicht), dass [mm]\varphi[/mm] injektiv sein
> muss.
Wenn $A$ ein Koerper waere, ja. Oder [mm] $\varphi$ [/mm] ist identisch null, was aber hier nicht sein kann, da [mm] $\varphi(1 \otimes [/mm] 1) = 1 [mm] \neq [/mm] 0$ ist. Du musst also zeigen, dass der Kern von [mm] $\varphi$ [/mm] nicht trivial ist und somit [mm] $\ker \varphi \subsetneqq [/mm] A$ ein echtes, nicht-triviales Ideal ist. (Aber soweit warst du schon, oder?)
> Aber der Kern von [mm]\varphi[/mm] ist nicht trivial, denn
> [mm]\lambda\mu[/mm] ist ja schon 0, wenn einer der beiden Faktoren 0
> ist, also habe ich als Kern alle Elemente, wo ein Teil des
> Tensors 0 ist. Leider ist der Tensor selbst dann aber auch
> 0 - darf ich trotzdem so argumentieren?
Nein, darfst du nicht! Das 0 auf 0 abgebildet wird muss so sein und ist kein Widerspruch!
Schau dir doch mal das Element $y := x [mm] \otimes [/mm] 1 - 1 [mm] \otimes [/mm] x [mm] \in [/mm] A$ an, wobei $x [mm] \in [/mm] L [mm] \setminus [/mm] K$ ist. Du musst zeigen, dass $y [mm] \neq [/mm] 0$ ist (da [mm] $\varphi(y) [/mm] = x - x = 0$ ist). Das ueberlass ich dir jetzt aber :)
LG Felix
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