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| Aufgabe | Sei K ein Körper der Charakteristik p > 0, und sei
L [mm] \supset [/mm] K eine algebraische Körpererweiterung.
1) Wir definieren [mm] L_{0} [/mm] = [mm] K[{x^p; x \in L}]. [/mm] Zeigen Sie, dass K [mm] \subset L_{0} \subset [/mm] L ein Zwischenkörper ist.
2) Sei [mm] L_{0} \not= [/mm] L. Zeigen Sie, dass ein beliebiges x [mm] \in [/mm] L\ [mm] L_{0} [/mm] algebraisch inseparabel über K ist. |
Hallo Leute,
mir ist einfach nicht klar, dass [mm] L_{0} [/mm] Zwischenkröper ist. Ich adjungiere doch [mm] x^p, [/mm] s.d. der daraus entstehende Körper doch sicherlich größer wird als K. Aber woraus kann ich schließen, dass L stets größer bleibt?!?
Mitdem zweiten Teil bin ich mir genau so unsicher :-(. Wenn ich mir L ohne [mm] L_{0} [/mm] anschaue, so sind doch da nur Polynome mit dem Grad 0, also nur Konstante, drin. Kann ich daraus direkt schlussfolgern, dass diese lediglich einfache Nullstellen haben können?!?
Wie immer vielen Dank für eure Hilfe
Liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:24 Di 15.12.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Sabine!
> Sei K ein Körper der Charakteristik p > 0, und sei
> L [mm]\supset[/mm] K eine algebraische Körpererweiterung.
> 1) Wir definieren [mm]L_{0}[/mm] = [mm]K[{x^p; x \in L}].[/mm] Zeigen Sie,
> dass K [mm]\subset L_{0} \subset[/mm] L ein Zwischenkörper ist.
> 2) Sei [mm]L_{0} \not=[/mm] L. Zeigen Sie, dass ein beliebiges x
> [mm]\in[/mm] L\ [mm]L_{0}[/mm] algebraisch inseparabel über K ist.
> mir ist einfach nicht klar, dass [mm]L_{0}[/mm] Zwischenkröper ist.
> Ich adjungiere doch [mm]x^p,[/mm] s.d. der daraus entstehende
> Körper doch sicherlich größer wird als K. Aber woraus
> kann ich schließen, dass L stets größer bleibt?!?
Das kannst du so ohne weiteres nicht schließen, deswegen ist es ja auch in 2) als Annahme vorausgesetzt. [mm] '$\subset$' [/mm] bedeutet i. a. 'enthalten oder gleich'. Du mußt also nur zeigen, daß [mm] L_0 [/mm] überhaupt ein Körper ist.
> Mit dem zweiten Teil bin ich mir genau so unsicher :-(. Wenn
> ich mir L ohne [mm]L_{0}[/mm] anschaue, so sind doch da nur Polynome
> mit dem Grad 0, also nur Konstante, drin. Kann ich daraus
> direkt schlussfolgern, dass diese lediglich einfache
> Nullstellen haben können?!?
Dein Argument verstehe ich so nicht. Wie findest du denn erstmal für $x [mm] \in [/mm] L$ \ [mm] $L_0$ [/mm] denn ein Polynom mit x als Nullstelle und Koeffizienten in [mm] $L_0$?
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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