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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 So 17.06.2012 | | Autor: | shadee |
| Aufgabe | | Für welche rationalen Zahlen r ist [mm] $\IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) [/mm] = [mm] \IQ(\sqrt{2} [/mm] + [mm] r*\sqrt{3})$? [/mm] |
Gleichheit beweise ich indem ich zeige, dass einerseits (1)$ [mm] \sqrt{2}, \sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2} [/mm] + [mm] r*\sqrt{3})$ [/mm] und andererseits [mm] (2)$\sqrt{2} [/mm] + [mm] r*\sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3})$:
[/mm]
(2)
Da r rational ist, gilt $r [mm] \in \IQ(\sqrt(2),\sqrt(3))$. [/mm] Somit ist auch [mm] $r*\sqrt(3) \in \IQ(\sqrt(2),\sqrt(3))$ [/mm] und somit auch [mm] $\sqrt{2} [/mm] + [mm] r*\sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3})$. [/mm] Bewis läuft also über die Körpereigenschaft.
(1)
$2*3r$ ist sicherlich rational und somit [mm] $\in \IQ(\sqrt{2} [/mm] + [mm] r*\sqrt{3})$. [/mm] Damit ist aber auch [mm] $\bruch{2*3r}{\sqrt{2} + r*\sqrt{3}} [/mm] = [mm] \sqrt{2} [/mm] - [mm] r*\sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2} [/mm] + [mm] r*\sqrt{3})$ [/mm] Dadurch ist auch [mm] $\sqrt{2} [/mm] + [mm] r*\sqrt{3} [/mm] - [mm] (\sqrt{2} [/mm] - [mm] r*\sqrt{3}) [/mm] = [mm] 2r*\sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2} [/mm] + [mm] r*\sqrt{3})$. [/mm] Und somit auch [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] und abhängig von r (?!), da ich ja durch 2r teilen kann, da es eine rationale Zahl ist. (Für [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] geht das analog).
Alos gilt es für jede rationale Zahl. Kann das denn sein? Das kommt mir irgenwie komisch vor :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Mo 18.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für welche rationalen Zahlen r ist [mm]\IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \IQ(\sqrt{2} + r*\sqrt{3})[/mm]?
>
> Gleichheit beweise ich indem ich zeige, dass einerseits (1)[mm] \sqrt{2}, \sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2} + r*\sqrt{3})[/mm]
> und andererseits (2)[mm]\sqrt{2} + r*\sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3})[/mm]:
>
> (2)
> Da r rational ist, gilt [mm]r \in \IQ(\sqrt(2),\sqrt(3))[/mm].
> Somit ist auch [mm]r*\sqrt(3) \in \IQ(\sqrt(2),\sqrt(3))[/mm] und
> somit auch [mm]\sqrt{2} + r*\sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3})[/mm].
> Bewis läuft also über die Körpereigenschaft.
>
> (1)
> [mm]2*3r[/mm] ist sicherlich rational und somit [mm]\in \IQ(\sqrt{2} + r*\sqrt{3})[/mm].
> Damit ist aber auch [mm]\bruch{2*3r}{\sqrt{2} + r*\sqrt{3}} = \sqrt{2} - r*\sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2} + r*\sqrt{3})[/mm]
Moment. [mm] $\frac{2 \cdot 3 r}{\sqrt{2} + r \sqrt{3}}$ [/mm] ist doch [mm] $\frac{2 \cdot 3 r}{2 - r^2 3} (\sqrt{2} [/mm] - r [mm] \sqrt{3})$, [/mm] und nicht gleich [mm] $\sqrt{2} [/mm] - r [mm] \sqrt{3}$.
[/mm]
> Dadurch ist auch [mm]\sqrt{2} + r*\sqrt{3} - (\sqrt{2} - r*\sqrt{3}) = 2r*\sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2} + r*\sqrt{3})[/mm].
> Und somit auch [mm]\sqrt{3}[/mm] und abhängig von r (?!), da ich ja
> durch 2r teilen kann, da es eine rationale Zahl ist. (Für
> [mm]\sqrt{2}[/mm] geht das analog).
Wieso solltest du im Fall $r = 0$ durch $2 r$ teilen koennen?
> Alos gilt es für jede rationale Zahl. Kann das denn sein?
Nein. Fuer $r = 0$ stimmt es ganz offensichtlich nicht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Mo 18.06.2012 | | Autor: | shadee |
Du hast Recht ich hab mich da auch völlig verschrieben :/ Muss also heißen Damit ist aber auch $ [mm] \bruch{2 - 3r^2}{\sqrt{2} + r\cdot{}\sqrt{3}} [/mm] = [mm] \sqrt{2} [/mm] - [mm] r\cdot{}\sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2} [/mm] + [mm] r\cdot{}\sqrt{3}) [/mm] $
Dann hauts hin (Binomische Formel ausrechnen). Und es gilt also für alle $ r [mm] \not= [/mm] 0$. Ich frag mich wie ich das übersehen konnte =/ War wohl gestern etwas zu spät. Überseh ich denn noch irgendwelche anderen rationalen Zahlen, für die das nicht hin haut?
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Mo 18.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Du hast Recht ich hab mich da auch völlig verschrieben :/
> Muss also heißen Damit ist aber auch [mm]\bruch{2 - 3r^2}{\sqrt{2} + r\cdot{}\sqrt{3}} = \sqrt{2} - r\cdot{}\sqrt{3} \in \IQ(\sqrt{2} + r\cdot{}\sqrt{3})[/mm]
So sieht's besser aus :)
> Dann hauts hin (Binomische Formel ausrechnen). Und es gilt
> also für alle [mm]r \not= 0[/mm]. Ich frag mich wie ich das
> übersehen konnte =/ War wohl gestern etwas zu spät.
> Überseh ich denn noch irgendwelche anderen rationalen
> Zahlen, für die das nicht hin haut?
Ich denke nicht; 0 muesste die einzige Ausnahme sein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Mo 18.06.2012 | | Autor: | shadee |
Mir würde soweit auch nix weiter auffallen. Vielen Dank für deine schnellen und sachlichen Tipps :)
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