Körperhomomorphismen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Fr 18.04.2014 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | 1.) Bestimmen Sie alle Körperhomomorphismen [mm] \varphi: \IQ(\wurzel[3]{3}) \rightarrow \IC.
[/mm]
2.) Bestimmen Sie die Automorphismengruppe Aut(E) von
[mm] E=\IQ(\wurzel[3]{3},exp(\bruch{2\pi*i}{3}))
[/mm]
sowie Fix(E;Aut(E)) und folgern Sie, dass E eine Galoiserweiterung von [mm] \IQ [/mm] ist. |
Hallo,
zu 1.) Da weiss ich irgendwie nicht so richtig, wie man da vorgehen sollte...
zu 2.)
Sei [mm] \zeta:=exp(\bruch{2\pi*i}{3})
[/mm]
Es gilt [mm] \varphi(\wurzel[3]{3}) \in \{\wurzel[3]{3},\zeta\wurzel[3]{3},\zeta^{2}\wurzel[3]{3}\}, [/mm] sowie [mm] \varphi(\zeta) \in \{\zeta, \zeta^{2}\}
[/mm]
[mm] Aut(E)=G=\{id,\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3},\varphi_{4},\varphi_{5}\}, [/mm] mit
[mm] \varphi_{1}(\wurzel[3]{3})=\zeta\wurzel[3]{3}, [/mm] sowie [mm] \varphi_{1}(\zeta)=\zeta
[/mm]
[mm] \varphi_{2}(\wurzel[3]{3})=\zeta^{2}\wurzel[3]{3}, [/mm] sowie [mm] \varphi_{2}(\zeta)=\zeta
[/mm]
[mm] \varphi_{3}(\wurzel[3]{3})=\wurzel[3]{3}, [/mm] sowie [mm] \varphi_{3}(\zeta)=\zeta^{2}
[/mm]
[mm] \varphi_{4}(\wurzel[3]{3})=\zeta\wurzel[3]{3}, [/mm] sowie [mm] \varphi_{4}(\zeta)=\zeta^{2}
[/mm]
[mm] \varphi_{5}(\wurzel[3]{3})=\zeta^{2}\wurzel[3]{3}, [/mm] sowie [mm] \varphi_{5}(\zeta)=\zeta^{2}
[/mm]
G [mm] \cong \IZ_{3} \times \IZ_{2}
[/mm]
[mm] Fix(E;G)=\IQ \Rightarrow [/mm] E eine Galoiserweiterung von [mm] \IQ
[/mm]
Würde mich über Tipps/Hilfestellungen freuen 
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Fr 18.04.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> 1.) Bestimmen Sie alle Körperhomomorphismen [mm]\varphi: \IQ(\wurzel[3]{3}) \rightarrow \IC.[/mm]
>
> 2.) Bestimmen Sie die Automorphismengruppe Aut(E) von
>
> [mm]E=\IQ(\wurzel[3]{3},exp(\bruch{2\pi*i}{3}))[/mm]
>
> sowie Fix(E;Aut(E)) und folgern Sie, dass E eine
> Galoiserweiterung von [mm]\IQ[/mm] ist.
> Hallo,
>
> zu 1.) Da weiss ich irgendwie nicht so richtig, wie man da
> vorgehen sollte...
Beachte: sind $K$ und $L$ Erweiterungskoerper von [mm] $\IQ$ [/mm] und ist [mm] $\varphi [/mm] : K [mm] \to [/mm] L$ ein Koerperhomomorphismus, dann ist [mm] $\varphi|_{\IQ}$ [/mm] die Identitaet auf [mm] $\IQ$.
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] $\varphi(\sqrt[3]{3})$ [/mm] eine Nullstelle vom Minimalpolynom von [mm] $\sqrt[3]{3}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist. Weiterhin ist [mm] $\varphi$ [/mm] bereits eindeutig durch [mm] $\varphi(\sqrt[3]{3})$ [/mm] festgelegt.
Damit solltest du jetzt alle Koerperhomomorphismen [mm] $\IQ(\sqrt[3]{3}) \to \IC$ [/mm] bestimmen koennen.
> zu 2.)
>
> Sei [mm]\zeta:=exp(\bruch{2\pi*i}{3})[/mm]
>
> Es gilt [mm]\varphi(\wurzel[3]{3}) \in \{\wurzel[3]{3},\zeta\wurzel[3]{3},\zeta^{2}\wurzel[3]{3}\},[/mm]
> sowie [mm]\varphi(\zeta) \in \{\zeta, \zeta^{2}\}[/mm]
>
> [mm]Aut(E)=G=\{id,\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3},\varphi_{4},\varphi_{5}\},[/mm]
> mit
>
> [mm]\varphi_{1}(\wurzel[3]{3})=\zeta\wurzel[3]{3},[/mm] sowie
> [mm]\varphi_{1}(\zeta)=\zeta[/mm]
> [mm]\varphi_{2}(\wurzel[3]{3})=\zeta^{2}\wurzel[3]{3},[/mm] sowie
> [mm]\varphi_{2}(\zeta)=\zeta[/mm]
> [mm]\varphi_{3}(\wurzel[3]{3})=\wurzel[3]{3},[/mm] sowie
> [mm]\varphi_{3}(\zeta)=\zeta^{2}[/mm]
> [mm]\varphi_{4}(\wurzel[3]{3})=\zeta\wurzel[3]{3},[/mm] sowie
> [mm]\varphi_{4}(\zeta)=\zeta^{2}[/mm]
> [mm]\varphi_{5}(\wurzel[3]{3})=\zeta^{2}\wurzel[3]{3},[/mm] sowie
> [mm]\varphi_{5}(\zeta)=\zeta^{2}[/mm]
Das sind alles Kandidaten. Warum sind es wirklich Koerperautomorphismen?
> G [mm]\cong \IZ_{3} \times \IZ_{2}[/mm]
Warum?
> [mm]Fix(E;G)=\IQ \Rightarrow[/mm] E eine Galoiserweiterung von [mm]\IQ[/mm]
Nun, warum ist $Fix(E; G) = [mm] \IQ$? [/mm] Das ist hier ein wichtiger Punkt. Argumentiere mit den obigen Automorphismen!
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:35 Sa 19.04.2014 | | Autor: | DrRiese |
Vielen Dank für die Antwort
zu 1.)
achso, also wäre die Lösung folgende?
[mm] \varphi_{1}: \IQ(\wurzel[3]{3}) \rightarrow \IC, [/mm] mit
[mm] \varphi_{1}(a) [/mm] = a, [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IQ
[/mm]
[mm] \varphi_{1}(\wurzel[3]{3}) [/mm] = [mm] \wurzel[3]{3}
[/mm]
[mm] \varphi_{2}: \IQ(\wurzel[3]{3}) \rightarrow \IC, [/mm] mit
[mm] \varphi_{2}(a) [/mm] = a, [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IQ
[/mm]
[mm] \varphi_{2}(\wurzel[3]{3}) [/mm] = [mm] \zeta\wurzel[3]{3}; [/mm] mit [mm] \zeta [/mm] = [mm] exp(\bruch{2\pi*i}{3}) \in \IC
[/mm]
[mm] \varphi_{3}: \IQ(\wurzel[3]{3}) \rightarrow \IC, [/mm] mit
[mm] \varphi_{3}(a) [/mm] = a, [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IQ
[/mm]
[mm] \varphi_{3}(\wurzel[3]{3}) [/mm] = [mm] \zeta^{2}\wurzel[3]{3}
[/mm]
zu 2.)
Fix(E; [mm] G)=\IQ, [/mm] da mithilfe von G = Aut(E) alle Nullstellen der Minimalpolynome von [mm] \wurzel[3]{3} [/mm] und [mm] \zeta [/mm] durchpermutiert werden.
Minimalpolynom von [mm] \wurzel[3]{3} [/mm] über [mm] \IQ: \mu_{1}(x)=x^{3}-3 [/mm]
und Minimalpolynom von [mm] \zeta [/mm] über [mm] \IQ: \mu_{2}(x)=x^{2}+x+1
[/mm]
Nullstellen von [mm] \mu_{1}(x)=\{\wurzel[3]{3},\zeta\wurzel[3]{3},\zeta^{2}\wurzel[3]{3}\} \notin \IQ
[/mm]
Nullstellen von [mm] \mu_{2}(x)=\{\zeta, \zeta^{2}\} \notin \IQ
[/mm]
Für alle a [mm] \in \IQ [/mm] gilt: [mm] \varphi_{i}(a)=a; [/mm] i=1,...,5.
Da nun gilt: [mm] \exists [/mm] G (endlich) [mm] \in [/mm] Aut(E): [mm] Fix(E;G)=\IQ \Rightarrow [/mm] Körpererweiterung [mm] E:\IQ [/mm] galoisch
G [mm] \cong \IZ_{6}, [/mm] da gilt G = < [mm] \varphi_{5}>, [/mm] also zyklisch erzeugt und abelsch.
Die Elemente von G sind Körperautomophismen, da gilt:
[mm] \varphi_{i}: [/mm] E [mm] \rightarrow [/mm] E ein bijektiver Körperhomomorphismus, also ein Körperautomorphismus...
LG
DrRiese
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 21.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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