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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Körperhomomorphismus R -> C
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Körperhomomorphismus R -> C: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 Fr 08.04.2011
Autor: Gabbabin

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die angegebne Abbildung

f: [mm] \IR \to \IC [/mm]
    a [mm] \mapsto [/mm] (a,0)
ein Körperhomomorphismus ist, d.h. f ist eine injektive Abbildung, für die
f (ab) = f(a)f(b)

und

f(a+b) = f(a) + f(b)
für alle a,b [mm] \in \IR [/mm] gilt.


Hallo, irgendwie weiß ich nicht wie ich anfangen soll.

Also ich habe f(a+b) = f((a+0),(0+b)) hilft mir das weiter?
f(ab)= f((a,0)*(0,b))=f((0-0),(ab-0))= f((0),(ab))

Ist wahrscheinlich ein falscher Ansatz, oder?

Freue mich über eure Antworten

Gabbabin

        
Bezug
Körperhomomorphismus R -> C: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Fr 08.04.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Gabbabin,

> Zeigen Sie, dass die angegebne Abbildung
>
> f: [mm]\IR \to \IC[/mm]
> a [mm]\mapsto[/mm] (a,0)
> ein Körperhomomorphismus ist, d.h. f ist eine injektive
> Abbildung, für die
> f (ab) = f(a)f(b)
>
> und
>
> f(a+b) = f(a) + f(b)
> für alle a,b [mm]\in \IR[/mm] gilt.
>
> Hallo, irgendwie weiß ich nicht wie ich anfangen soll.
>
> Also ich habe f(a+b) = f((a+0),(0+b)) [haee]

[mm]f[/mm] geht von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IC[/mm], die Argumente, die du in [mm]f[/mm] hineinstopfst, sind also reelle Zahlen.

Was soll da bitte [mm]f(\red{(a,b)})[/mm] bedeuten?

> hilft mir das
> weiter?
> f(ab)= f((a,0)*(0,b))=f((0-0),(ab-0))= f((0),(ab))
>
> Ist wahrscheinlich ein falscher Ansatz, oder?

Ja, das ist grober Unfug.

Du kannst doch [mm]\IC[/mm] mit dem [mm]\IR^2[/mm] identifizieren.

Schaue nach, wie ihr die Addition [mm](a+bi)+(c+di)[/mm] (in [mm]\IC[/mm]) bzw. hier als Addition im [mm]\IR^2[/mm] aufgefasst [mm](a,b)+(c,d)[/mm] definiert habt.

Das war komponentenweise, also [mm](a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d)[/mm] oder als Tupel [mm](a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)[/mm]

Das benutze!

[mm]f(a+b)=(a+b,0)[/mm] so ist [mm]f[/mm] ja definiert.

Nun rechne aus, was [mm]f(a)+f(b)[/mm] ist. Ist das dasselbe?

Etwas schwieriger ist es mit der Multiplikation.

Schlage nach, wie ihr das definiert habt und gehe analog vor.

Für den Injektivitätsnachweis berechne mal den [mm]\operatorname{Kern}(f)[/mm] ...

>
> Freue mich über eure Antworten
>
> Gabbabin

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Körperhomomorphismus R -> C: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Fr 08.04.2011
Autor: Gabbabin

Danke für deine super schnelle Antwort.

Also ist f(a)+f(b)= ((f(a+0)),(f(b+0)), aber wie komme ich jetzt auf die Form f(a+b)?

Bezug
                        
Bezug
Körperhomomorphismus R -> C: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Fr 08.04.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Danke für deine super schnelle Antwort.
>
> Also ist f(a)+f(b)= ((f(a+0)),(f(b+0)), aber wie komme ich
> jetzt auf die Form f(a+b)?

Nun, nutze die Definition der Addition!

Es ist [mm](a+0i)+(b+0i)=(a+b)+0i[/mm] bzw. in Tupelschreibweise [mm](a,0)+(b,0)=(a+b,0)[/mm]

Also [mm]f(a+b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0)=f(a)+f(b)[/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Körperhomomorphismus R -> C: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Fr 08.04.2011
Autor: Gabbabin

Nach Definition von der Addition folgt:

f(a+b) = f(((a,0)+(b,0))= f(a+b,0)
f(a+b) = (a+b,0) = (a,0)+(b,0)= f(a)+f(b)

Für die Multiplikation habe ich jetzt

f(a*b)= (a,0)*(b,0) = (ab-0,0+0) = (ab,0)

Jetzt weiß ich leider nicht wie ich auf f(a)f(b) komme.

Ist der erste Teil mit der Addition so richtig und bin ich bei der Multiplikation auf dem richtigen Weg?

Bezug
                                        
Bezug
Körperhomomorphismus R -> C: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Fr 08.04.2011
Autor: felixf

Moin!

> Nach Definition von der Addition folgt:
>  
> f(a+b) = f(((a,0)+(b,0))= f(a+b,0)

Nun, $f(a + b)$ ist ja ein gueltiger Ausdruck, aber was willst du mit $f(((a,0) + (b,0))$ und $f(a+b,0)$ sagen?! Wie schachuzipus schon gesagt hat: $f$ nimmt keine Tupel, sondern einfache reelle Zahlen als Argument! Die Zeile ergibt so ueberhaupt keinen Sinn!

Das hier dagegen ist richtig:

>  f(a+b) = (a+b,0) = (a,0)+(b,0)= f(a)+f(b)

(Musst nur noch $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] dazuschreiben.)

> Für die Multiplikation habe ich jetzt
>  
> f(a*b)= (a,0)*(b,0) = (ab-0,0+0) = (ab,0)

Das stimmt so nicht. Du faengst mit $f(a*b)$ an. Das ist gleich $(a*b, 0)$, und (erstmal) nicht gleich $(a,0) * (b,0)$. Dass es gleich $(a,0) * (b,0) = f(a) * f(b)$ ist, willst du doch gerade zeigen!

LG Felix


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Bezug
Körperhomomorphismus R -> C: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Fr 08.04.2011
Autor: Gabbabin

Also gilt f(a*b) = (a*b,0)
f(a)*f(b) =  (a,0)*(b*0)=(a*b-0,0+0)=(a*b,0)=f(a*b)

Ist das so richtig?

Bezug
                                                        
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Körperhomomorphismus R -> C: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Fr 08.04.2011
Autor: leduart

Hallo
richtig
gruss leduart


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Bezug
Körperhomomorphismus R -> C: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 So 10.04.2011
Autor: Gabbabin

Aufgabe
Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung [mm] w^2=-9 [/mm]

Danke für die super Hilfe.

Zu dieser Aufgabe habe ich die Frage ob Folgendes richtig ist.

-9 = (-9,0)

(0,-3)*(0,-3) = (0*0-3*3,0*3+3*0) = (-9,0)

Bezug
                                                                        
Bezug
Körperhomomorphismus R -> C: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 So 10.04.2011
Autor: fred97


> Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung [mm]w^2=-9[/mm]
>  Danke für die super Hilfe.
>  
> Zu dieser Aufgabe habe ich die Frage ob Folgendes richtig
> ist.
>  
> -9 = (-9,0)
>  
> (0,-3)*(0,-3) = (0*0-3*3,0*3+3*0) = (-9,0)

Das stimmt

FRED


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