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Koerzivität zeigen: mit Young
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:52 Di 22.01.2013
Autor: mikexx

Aufgabe
Zeigen Sie, dass

[mm] $F(u)=\int\limits_0^1 (1-u'(x)^2)^2+u(x)^2\, [/mm] dx$ mit [mm] $u\in W^{1,4}(0,1)$ [/mm]

koerziv ist.

Verwenden Sie dazu die Young-Ungleichung

[mm] $2ab\leq \varepsilon a^2+\frac{b^2}{\varepsilon}~\forall~a,b,\varepsilon [/mm] > 0$.



Also was ich zeigen muss, ist meines Wissens Folgendes:

Es gelte

[mm] $\lVert u_n\rVert_{L^4}+\lVert u_n'\rVert_{L^4}=\lVert u_n\rVert_{W^{1,4}}\to\infty$. [/mm]

Zeige [mm] $F(u_n)\to\infty$. [/mm]


Ich habe erstmal [mm] $F(u_n)$ [/mm] ausgeschrieben:

[mm] $F(u_n)=\int\limits_0^1 (1-u_n'(x)^2)^2+u_n(x)^2\, dx=\int\limits_0^1 1-2u_n'(x)^2+u_n'(x)^4+u_n(x)^2\, [/mm] dx$

Wie sieht man jetzt, daß dieses Integral gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht und wie benutze ich zu diesem Nachweis die obige Ungleichung von Young?


Leider sehe ich's nicht.



Viele Grüße

mikexx

        
Bezug
Koerzivität zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 So 27.01.2013
Autor: Marcel

Hi,

> Zeigen Sie, dass
>
> [mm]F(u)=\int\limits_0^1 (1-u'(x)^2)^2+u(x)^2\, dx[/mm] mit [mm]u\in W^{1,4}(0,1)[/mm]
>  
> koerziv ist.
>  
> Verwenden Sie dazu die Young-Ungleichung
>  
> [mm]2ab\leq \varepsilon a^2+\frac{b^2}{\varepsilon}~\forall~a,b,\varepsilon > 0[/mm].
>  
>
> Also was ich zeigen muss, ist meines Wissens Folgendes:
>  
> Es gelte
>  
> [mm]\lVert u_n\rVert_{L^4}+\lVert u_n'\rVert_{L^4}=\lVert u_n\rVert_{W^{1,4}}\to\infty[/mm].
>  
> Zeige [mm]F(u_n)\to\infty[/mm].
>  
>
> Ich habe erstmal [mm]F(u_n)[/mm] ausgeschrieben:
>  
> [mm]F(u_n)=\int\limits_0^1 (1-u_n'(x)^2)^2+u_n(x)^2\, dx=\int\limits_0^1 1-2u_n'(x)^2+u_n'(x)^4+u_n(x)^2\, dx[/mm]
>  
> Wie sieht man jetzt, daß dieses Integral gegen [mm]\infty[/mm] geht
> und wie benutze ich zu diesem Nachweis die obige
> Ungleichung von Young?
>  
>
> Leider sehe ich's nicht.

einfach mal []hier (klick!) mitlesen! (Ob das
nun ein Crossposting von Dir ist, weiß ich (noch) nicht...)

Gruß,
  Marcel

Bezug
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