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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Fr 09.01.2009 | | Autor: | laurel |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper, n [mm] \ge [/mm] 2 eine natürliche Zahl, A [mm] \in [/mm] Mat(n, K) eine Matrix, und C=((-1)^(i+j) det (A^ij)) [mm] \in [/mm] Mat (n, K) ihre Kofaktormatrix. Zeigen Sie, dass det(C) = det(A)^(n-1) gilt. |
Hallo an alle!!! Kann mir jemand dabei helfen?
Ich weiß nicht, wie ich det ( A^(n-1)) darstellen kann!
Danke im Voraus!
Ich habe die Frage in keine andere Foren gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:54 Sa 10.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei K ein Körper, n [mm]\ge[/mm] 2 eine natürliche Zahl, A [mm]\in[/mm]
> Mat(n, K) eine Matrix, und C=((-1)^(i+j) det (A^ij)) [mm]\in[/mm]
> Mat (n, K) ihre Kofaktormatrix. Zeigen Sie, dass det(C) =
> det(A)^(n-1) gilt.
>
> Hallo an alle!!! Kann mir jemand dabei helfen?
> Ich weiß nicht, wie ich det ( A^(n-1)) darstellen kann!
Nun, weisst du was $A [mm] \cdot [/mm] C$ oder $C [mm] \cdot [/mm] A$ ist? Das kann man ziemlich konkret mit Hilfe von [mm] $\det [/mm] A$ angeben.
Und jetzt berechne doch mal vom Produkt und von dem Ergebnis die Determinante aus und versuch damit was hinzubekommen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Sa 10.01.2009 | | Autor: | laurel |
Hi!!
Also AC=CA=detA= [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i_j(-1)^{i+j}det(A^i^j))
[/mm]
ich brauche ja [mm] det(A^{n-1})=(AC)^{n-1}=(\summe_{i=1}^{n} \lambda_i_j(-1)^{i+j}det(A^i^j))^{n-1}
[/mm]
Von hier komme ich irgendwie nicht weiter.
ich weiss nicht, wie ich jetzt det(C) und det(A^(n-1) vergleichen soll, wenn [mm] det(C)=\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}det(A^i^j)det(C^i^j)
[/mm]
Danke!!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Sa 10.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also AC=CA=detA= [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i_j(-1)^{i+j}det(A^i^j))[/mm]
Da stehen erst zwei Matrizen und dann zwei Skalare. Das kann schonmal nicht stimmen.
Und warum sollen die letzten beiden Skalare gleich sein? Und was sind die [mm] $\lambda_{ij}$?
[/mm]
> ich brauche ja [mm]det(A^{n-1})=(AC)^{n-1}=(\summe_{i=1}^{n} \lambda_i_j(-1)^{i+j}det(A^i^j))^{n-1}[/mm]
>
> Von hier komme ich irgendwie nicht weiter.
Dazu solltest du erstmal den obigen Teil klaeren.
> ich weiss nicht, wie ich jetzt det(C) und det(A^(n-1)
> vergleichen soll, wenn
> [mm]det(C)=\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}det(A^i^j)det(C^i^j)[/mm]
Wieso sollte das [mm] $\det [/mm] C$ sein?
LG Felix
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