www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Topologie und Geometrie" - Kofinale Topologie, Konvergenz
Kofinale Topologie, Konvergenz < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kofinale Topologie, Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Fr 11.09.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Wir haben die kofinale Topologie auf einer Menge X definiert durch:
[mm] O_{C_o}:= \{A \subseteq X | X\setminus A \mbox{ endlich }\} \cup \emptyset [/mm]
Stimmt es dass jede Folge in X  gegen jedes x [mm] \in [/mm] X konvergiert?

Hallo,
Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge in X.
Sei x [mm] \in [/mm] X beliebig aber fix.

Sei [mm] U_x \in [/mm] U(x) eine Umgebung um x, d.h. [mm] \exists [/mm] O [mm] \in O_{C_o} [/mm] : x [mm] \in [/mm] O [mm] \subseteq U_x [/mm]
O [mm] \in O_{C_o} [/mm] d.h. [mm] X\setminus [/mm] O ist endlich.
Da X [mm] \setminus U_x \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] O  folgt [mm] X\setminus U_x [/mm] endlich.

Wenn [mm] X\setminus U_x [/mm] endlich ist so muss es aber einen Index N geben sodass  [mm] x_n \in U_x \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N

Da x beliebig gewählt war folgt : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in X:x_n \rightarrow [/mm] x

Korrekt?
LG,
sissi

        
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 Fr 11.09.2015
Autor: fred97


> Wir haben die kofinale Topologie auf einer Menge X
> definiert durch:
>  [mm]O_{C_o}:= \{A \subseteq X | X\setminus A \mbox{ endlich }\} \cup \emptyset[/mm]
>  
> Stimmt es dass jede Folge in X  gegen jedes x [mm]\in[/mm] X
> konvergiert?
>  Hallo,
>  Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge in X.
>  Sei x [mm]\in[/mm] X beliebig aber fix.
>  
> Sei [mm]U_x \in[/mm] U(x) eine Umgebung um x, d.h. [mm]\exists[/mm] O [mm]\in O_{C_o}[/mm]
> : x [mm]\in[/mm] O [mm]\subseteq U_x[/mm]
> O [mm]\in O_{C_o}[/mm] d.h. [mm]X\setminus[/mm] O ist endlich.
>  Da X [mm]\setminus U_x \subseteq[/mm] X [mm]\setminus[/mm] O  folgt
> [mm]X\setminus U_x[/mm] endlich.
>  
> Wenn [mm]X\setminus U_x[/mm] endlich ist so muss es aber einen Index
> N geben sodass  [mm]x_n \in U_x \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
>  
> Da x beliebig gewählt war folgt : [mm]\forall[/mm] x [mm]\in X:x_n \rightarrow[/mm]
> x
>
> Korrekt?

Nein. Nimm mal an, X enthält mind. 2 verschiedene Elemente x und y.

Setze [mm] x_n:=x [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] und G:= X [mm] \setminus \{x\}. [/mm] Dann ist G eine offene Umgebung von y, [mm] x_n \in [/mm] G für kein(!) n, also konvergiert [mm] (x_n) [/mm] nicht gegen y.

FRED

>  LG,
>  sissi


Bezug
                
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Fr 11.09.2015
Autor: sissile

Hallo
Stimmt ich habe die konstanten Folgen vergessen einzubeziehen!
D.h. die konstante Folge [mm] x_n=x [/mm] konvergiert bezüglich der kofinalen Topologie  nur gegen x.

D.h. nur wenn die Menge [mm] \{x_n| n \in \mathbb{N}\} [/mm] unendlich ist (in einer Menge werden zwei gleiche Elemente nur einmal gezählt) gilt meine Behauptung dass jede Folge in X  gegen jedes x $ [mm] \in [/mm] $ X konvergiert.
Oder kann man das so auch nicht formulieren?
Gibt es eine geschicktere Aussage über Konvergenz von Folgen in dieser Topologie?

LG,
sissi


Bezug
                        
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Fr 11.09.2015
Autor: tobit09

Hallo sissile!


>  Stimmt ich habe die konstanten Folgen vergessen
> einzubeziehen!
>  D.h. die konstante Folge [mm]x_n=x[/mm] konvergiert bezüglich der
> kofinalen Topologie  nur gegen x.

Ja.


> D.h. nur wenn die Menge [mm]\{x_n| n \in \mathbb{N}\}[/mm] unendlich
> ist (in einer Menge werden zwei gleiche Elemente nur einmal
> gezählt) gilt meine Behauptung dass jede Folge in X  gegen
> jedes x [mm]\in[/mm] X konvergiert.
>  Oder kann man das so auch nicht formulieren?

Die Bedingung, dass [mm] $\{x_n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] unendlich ist, ist zwar im Falle [mm] $|X|\not=1$ [/mm] notwendig für die Konvergenz von [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen jedes [mm] $x\in [/mm] X$, wie man sich überlegen kann.

Sie ist jedoch nicht hinreichend:

Betrachte z.B. [mm] $X:=\IR$ [/mm] und die durch [mm] $(0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,\ldots)$ [/mm] angedeutete Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$. [/mm]
Obwohl [mm] $\{x_n\;|\;n\in\IN\}=\IN_0$ [/mm] unendlich ist, konvergiert die Folge bezüglich unserer Topologie nur gegen 0.

(Überlege dir am besten, dass diese Folge tatsächlich gegen 0 konvergiert und gegen jeden anderen Wert [mm] $x\in\IR\setminus\{0\}$ [/mm] nicht konvergiert.)


>  Gibt es eine geschicktere Aussage über Konvergenz von
> Folgen in dieser Topologie?

Ja: [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert bezüglich unserer Topologie genau dann gegen $x$, wenn für jedes [mm] $y\in [/mm] X$ mit [mm] $y\not=x$ [/mm] die Menge [mm] $M_y:=\{n\in\IN\;|\;x_n=y\}$ [/mm] endlich ist, wenn die Folge also jeden Wert außer x nur endlich oft annimmt.

(Kannst du dieses Konvergenzkriterium beweisen?)


Somit liegt für jede Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] einer der folgenden Fälle vor:

1. Für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ ist [mm] $M_x$ [/mm] endlich, d.h. die Folge nimmt jeden Wert nur endlich oft an.
Dann konvergiert die Folge gegen jeden Punkt [mm] $x\in [/mm] X$.

2. Es gibt genau ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $M_x$ [/mm] unendlich, d.h. die Folge nimmt den Wert x unendlich oft an, alle anderen Werte nur endlich oft.
Dann konvergiert die Folge genau gegen den Punkt x und gegen keinen weiteren.

3. Es gibt mindestens zwei [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $M_x$ [/mm] unendlich, d.h. die Folge nimmt mehrere Werte unendlich oft an.
Dann ist die Folge divergent.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:15 Sa 12.09.2015
Autor: sissile

Danke für die Infos.
Ja den Fall, dass die Menge X endlich ist, lassen wir mal beiseite denn dann haben wir die diskrete Topologie.

[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \forall U_x \in \mathcal{U}(x) \exists [/mm] N: [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n \in U_x [/mm]
Sei y [mm] \in [/mm] X mit [mm] y\not=x [/mm]
ZZ.: [mm] |M_y| [/mm] < [mm] \infty [/mm]
Sei [mm] U_x :=X\setminus\{y\} [/mm] so [mm] \exists [/mm] N: [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n \in U_x [/mm]
D.h. [mm] x_n \not=y [/mm]
[mm] \rightarrow M_y \subseteq \{1,2,..,N-1\} [/mm]

[mm] \Leftarrow [/mm]
Sei [mm] U_x \in \mathcal{U}(x) [/mm]
Nach meiner Bemerkung in Post 1 ist  [mm] U_x [/mm]  offen, da [mm] U_x\not= \emptyset [/mm] folgt [mm] X\setminus U_x [/mm] ist endlich.
ZZ.: [mm] \exists [/mm] N : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n \in U_x [/mm]
Für alle y [mm] \in X\setminus U_x [/mm] ist [mm] M_y [/mm] endlich. Folge nimmt jeden Wert(endlich viele) in [mm] X\setminus U_x [/mm] nur endlich oft an.
Hier weiß ich nicht wie ich den Beweis am besten zu Ende führe?


Wie ist das eigentlich mit dem Häufungswert?
[mm] \forall U_x \in \mathcal{U}(x): \forall [/mm] N [mm] \in \mathbb{N}: \exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n \in U_x [/mm]
gibt es da ein "nicht so scharfes" Kriterium?

LG,
sissi

Bezug
                                        
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:17 Sa 12.09.2015
Autor: tobit09


> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  [mm]\forall U_x \in \mathcal{U}(x) \exists[/mm] N: [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N:
> [mm]x_n \in U_x[/mm]
>  Sei y [mm]\in[/mm] X mit [mm]y\not=x[/mm]
>  ZZ.: [mm]|M_y|[/mm] < [mm]\infty[/mm]
>  Sei [mm]U_x :=X\setminus\{y\}[/mm] so [mm]\exists[/mm] N: [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N:
> [mm]x_n \in U_x[/mm]
>  D.h. [mm]x_n \not=y[/mm]
>  [mm]\rightarrow M_y \subseteq \{1,2,..,N-1\}[/mm]

Genau. [ok]

Also ist [mm] $M_y$ [/mm] endlich, was zu zeigen war.


> [mm]\Leftarrow[/mm]
>  Sei [mm]U_x \in \mathcal{U}(x)[/mm]
>  Nach meiner Bemerkung in Post
> 1 ist  [mm]U_x[/mm]  offen, da [mm]U_x\not= \emptyset[/mm] folgt [mm]X\setminus U_x[/mm]
> ist endlich.
>  ZZ.: [mm]\exists[/mm] N : [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N: [mm]x_n \in U_x[/mm]
>  Für alle y
> [mm]\in X\setminus U_x[/mm] ist [mm]M_y[/mm] endlich. Folge nimmt jeden
> Wert(endlich viele) in [mm]X\setminus U_x[/mm] nur endlich oft an.

Ja. [ok]


>  Hier weiß ich nicht wie ich den Beweis am besten zu Ende
> führe?

Anschauliche Plausibilitätsbetrachtung:
Wenn jeder der endlich vielen Werte in [mm] $X\setminus U_x$ [/mm] nur endlich oft angenommen wird, wird "weit genug draußen" kein Wert in [mm] $X\setminus U_x$ [/mm] mehr angenommen, d.h. "weit genug draußen" liegen alle Werte der Folge in [mm] $U_x$. [/mm]

Sauberer Beweis:
Die Menge

       [mm] $M:=\bigcup_{y\in X\setminus U_x}M_y\subseteq\IN$ [/mm]

ist als endliche Vereinigung endlicher Mengen selbst wieder endlich.
Daher besitzt sie eine obere Schranke [mm] $N'\in\IN$ [/mm] (z.B. [mm] $N':=\max [/mm] M$ im Falle [mm] $M\not=\emptyset$; [/mm] im Falle [mm] $M=\emptyset$ [/mm] kann $N'$ willkürlich z.B. als 1 gewählt werden).
Die natürliche Zahl $N:=N'+1$ leistet erfüllt dann wie gewünscht [mm] $x_n\in U_x$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$:
Wäre [mm] $x_n\notin U_x$ [/mm] für ein [mm] $n\ge [/mm] N$, wäre [mm] $x_n\in X\setminus U_x$ [/mm] und damit [mm] $n\in M_{x_n}\subseteq [/mm] M$. Nach Wahl von N' folgte dann [mm] $n\le [/mm] N'<N$ im Widerspruch zu [mm] $n\ge [/mm] N$.

Bezug
                                        
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Sa 12.09.2015
Autor: tobit09


> Wie ist das eigentlich mit dem Häufungswert?
>  [mm]\forall U_x \in \mathcal{U}(x): \forall[/mm] N [mm]\in \mathbb{N}: \exists[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N: [mm]x_n \in U_x[/mm]
>  gibt es da ein "nicht so scharfes"
> Kriterium?

Es gilt folgendes Kriterium:

      $x$ ist Häufungswert von [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ $\iff$ $\{x_n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] ist unendlich oder [mm] $M_x:=\{n\in\IN\;|\;x_n=x\}$ [/mm] ist unendlich.


Für jede Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] liegt damit einer der folgenden Fälle vor:

1. [mm] $\{x_n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] ist unendlich.
Dann ist jedes [mm] $x\in [/mm] X$ Häufungswert von [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$. [/mm]

2. [mm] $\{x_n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] ist endlich.
Dann sind nur diejenigen [mm] $x\in [/mm] X$ Häufungswert, für die [mm] $M_x$ [/mm] unendlich ist, d.h. die schon selbst unendlich oft angenommen werden.

Bezug
        
Bezug
Kofinale Topologie, Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Fr 11.09.2015
Autor: tobit09

Randbemerkung für Interessierte:

Es gibt zu jeder Menge $X$ genau eine Topologie, bezüglich der alle Folgen in $X$ gegen jeden Punkt in $X$ konvergieren: Nämlich die triviale Topologie, die nur [mm] $\emptyset$ [/mm] und $X$ als offene Mengen hat.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]