Kom. Zahl. in Gauß. Zahleneben < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 So 25.10.2009 | | Autor: | hotsauce |
Halöle, ich bins wieder 
hab wieder ne Verständnisfrage:
In der Gauß´schen Zahlenebene entspricht die Addition v. komplexen Zahlen der Vektoraddition.
jetzt meine frage:
[mm] \overline{z}=x-i*y
[/mm]
Es gilt:
[mm] |\overline{z}|=|z|
[/mm]
in der Grafik [mm] (http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/illustr/spiegeln.gif) [/mm]
ist zu sehen, dass der reele Teil der komplexen Zahlen diese Vermutung bestätigt, d.h. das ist also hieraus erkennbar: [mm] |\overline{z}|=|z|, [/mm] denn
für den reellen teil gilt [mm] 0,5x(z+\overline{z})=0,5x(x+i*z+x-i*y)=x [/mm]
das x am ende, sagt es denn jetzt aus, wie ich es oben schon erwähnt habe, also, dass der reele Teil der selbe ist?
Was ich noch fragen wollte, woher kommt die 0,5 mit der multipliziert wird???
und zu guter letzt die letzte frage:
zu dem imaginären teil hab ich mir folgendes abgeschrieben:
[mm] \bruch{1}{2i}(z-\overline{z})=\bruch{-i}{2}(z-\overline{z}) [/mm] denn [mm] (z-\overline{z})=2iy
[/mm]
wieso wurde denn hier das "i" in den nenner genommen?? und was kann ich aus dem was ich gesagt habe ableiten?, etwa, dass der Imaginäre Teil bei z und [mm] \overline{z} [/mm] gleich ist?, wenn ja, wie kann ich das erkennen?
und was hat der teil: [mm] (z-\overline{z})=2iy [/mm] zu sagen??????
vielen dank
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Hallo hotsauce,
> In der Gauß´schen Zahlenebene entspricht die Addition v.
> komplexen Zahlen der Vektoraddition.
>
> jetzt meine frage:
>
> [mm]\overline{z}=x-i*y[/mm]
> Es gilt:
> [mm]|\overline{z}|=|z|[/mm]
>
> in der Grafik
> [mm](http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/illustr/spiegeln.gif)[/mm]
> ist zu sehen, dass der reele Teil der komplexen Zahlen
> diese Vermutung bestätigt, d.h. das ist also hieraus
> erkennbar: [mm]|\overline{z}|=|z|,[/mm]
Die obige Formel gilt aber für alle [mm] $z\in\IC$, [/mm] nicht nur für den reellen Teil.
Im Folgenden schreibst du zwei Formeln auf. Ich kann dir erklären, wie diese Formeln zustande kommen, aber nicht mit der obigen Formel verbinden.
> für den reellen teil gilt
> [mm]0,5*(z+\overline{z})=0,5x(x+i*z+x-i*y)=x[/mm]
> das x am ende, sagt es denn jetzt aus, wie ich es oben
> schon erwähnt habe, also, dass der reele Teil der selbe
> ist?
Diese Formel sagt im wesentlichen aus, wie man den Realteil x einer komplexen Zahl z mit Hilfe von ihr selbst und ihrem komplex konjugierten [mm] \overline{z} [/mm] berechnen kann. Überlege dir:
$z = x+i*y$
[mm] $\overline{z} [/mm] = x-i*y$
Dann ist
$z + [mm] \overline{z} [/mm] = 2*x$
Und damit jetzt auf der rechten Seite nur x steht, müssen wir noch durch zwei Teilen:
[mm] $\frac{z + \overline{z}}{2} [/mm] =x$
Das ist genau die Formel von oben.
> und zu guter letzt die letzte frage:
>
> zu dem imaginären teil hab ich mir folgendes
> abgeschrieben:
>
> [mm]\bruch{1}{2i}(z-\overline{z})=\bruch{-i}{2}(z-\overline{z})[/mm]
> denn [mm](z-\overline{z})=2iy[/mm]
Wieder genau so eine Formel wie oben: Sie beschreibt, wie man auf den Imaginärteil y einer reellen Zahl $z$ kommt, wenn man sie selbst und ihr komplex konjugiertes [mm] $\overline{z}$ [/mm] gegeben hat. Sie hat wie die obere Formel keine tiefere interpretatorische Bedeutung. Man rechnet
[mm](z-\overline{z})=2iy[/mm]
(Nachrechnen!)
und dann muss man nur noch durch 2i teilen, und auf der rechten Seite steht y:
[mm]\frac{z-\overline{z}}{2i}=y[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Mo 26.10.2009 | | Autor: | hotsauce |
wunderbar erklärt,danke
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