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| Aufgabe | Aus fünf verschiedenen Buchstaben (A, B, C, D, E) soll eine Buchstabensuppen in Tüten abgefüllt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür,
a) Tüten mit jeweils 10 Buchstaben herzustellen, wenn in jeder Packung mindestens ein A und mindestens ein B sein soll.
b) Tüten mit jeweils 10 Buchstaben herzustellen, wenn in jeder Tüte jeder Buchstabe mindestens einmal enthalten sein soll? |
Hallo zusammen,
meine Idee:
insgesamt sollen 10 buchstaben ausgewählt werden und es gibt fünf verschiedene Sorten.
k= 10
n= 5
in die Formel [mm] \bruch{(k+n-1)!}{k!*(n-1)!}
[/mm]
kommt dann 1001 Möglichkeiten heraus, ohne die Bedingungen zu beachten.
Wenn man jetzt die Bedingungen unter a mit einbezieht, dann müsste man ja die 1001 Möglichkeiten nehmen und die bedingungen abziehen.
Also:
1001 - [mm] \bruch{(8+3-1)!}{8!*(3-1)!} [/mm] = 956 Möglichkeiten
Ist das so richtig???
Gibt es einen weiteren Weg, indem man auf die Lösung kommt???
Wie kann ich bei Aufgabenteil b vorgehen??
Vielen Dank für eure Tipps!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Mo 02.11.2009 | | Autor: | wauwau |
Also ich würde eher sagen:
bei a)
zwei von den 10 buchstaben je tüte sind ja bestimmt (A,B) für die restlichen 8 Plätze gibts jeweils 5 Möglichkeiten Buchstaben einzufüllen daher [mm] $5^8$ [/mm] Möglichkeiten
Analog b: [mm] $5^5$
[/mm]
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das kann ja nicht sein oder??
also [mm] 5^{8} [/mm] sind ja 390625 Möglichkeiten....es sind ja nur 1001 Möglichkeiten möglich, also kann das auf keinen Fall sein!!!
Oder denke ich hier irgendwie falsch???
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> siehe oben
> das kann ja nicht sein oder??
>
> also [mm]5^{8}[/mm] sind ja 390625 Möglichkeiten....es sind ja nur
> 1001 Möglichkeiten möglich, also kann das auf keinen Fall
> sein!!!
>
> Oder denke ich hier irgendwie falsch???
Ja du denkst falsch.
Es handelt sich hier um "ziehen mit zurücklegen", da der buchstabe der ausgewählt wird ja weiterhin zur verfügung steht.
Wenn du eine Menge von 5 Elementen hast du bei 10 Elementen je dose insgesamt [mm] 5^{10}=9765625 [/mm] verschiedene Möglichkeiten wie sie in deine dose kommen können.
Da aber 2 Elemente vorgegeben sind, werden es dementsprechend weniger Möglichkeiten. (so wie wauwau beschrieben hat).
bei a.) hast du nur noch [mm] 5^{10-2} [/mm] = [mm] 5^{8}=390625
[/mm]
und b.) nur noch [mm] 5^{10-5}=5^{5}=3125 [/mm] Möglichkeiten.
lg
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ok.
In der schule haben wir so eine ähnliche aufgabe mit einer Formel mit Fakultät gerechnet und da kommt dann 1001 Möglichkeiten ohne die bedingungen heraus. Es handelt sich dabei ja um Kombinationen mit Wiederholungen??!!
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> siehe oben
> ok.
>
> In der schule haben wir so eine ähnliche aufgabe mit einer
> Formel mit Fakultät gerechnet und da kommt dann 1001
> Möglichkeiten ohne die bedingungen heraus. Es handelt sich
> dabei ja um Kombinationen mit Wiederholungen??!!
EDIT:
So, vorweg gleich mal sorry!
Du hast schon recht mit deiner Formel! Da bei einem Säckchen egal ist, ob die folge lautet AAB oder ABA, BAA. (so wie ich die angabe verstehe)
N=5
k=8 (da ja 2 schon vorgegeben sind.)
[mm] \bruch{(N+k-1)!}{k! * (N-1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(12)!}{8! * (4)!} [/mm] = 495 verschiedene Möglichkeiten!
Beispiel b kannst du analog dazu rechnen.
Sorry nochmal für die Verwirrung. hatte mir die 1 Antwort und deine Frage dazu angeschat und dann einfach drauf los geschrieben.
VORSICHT!
AB HIER ABWÄRTS ist es nicht zu diesem Beispiel gehörend! Aber als info sicher nicht schlecht, drum lass ich es auch drinnen!
Mal an einem einfachen Beispiel:
Gegeben Menge : A,B,C
wir wählen 2 aus.
mit unserer Formel : [mm] 2^{3} [/mm] = 9 ....wirklich alle Möglichen Kombinationen
AA, AB, BA, BB, AC, CA, CC, CB, BC
Mit der Kombinations Formel :
[mm] \bruch{(N+k-1)!}{k! * (N-1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(3+2-1)!}{2! * (3-1)!}= \bruch{(4)!}{2! * (2)!} [/mm] = 6
Hier wird nur gezählt : AA,BB,CC,AB,AC,BC und CB,BA,CA werden nicht mitgezählt da sie gleichgesetzt werden mit CB=BC, BA=AB, CA=AC.
Jetzt symbolisch auf dein Bsp umgelegt.
Wenn du hast ABBBBBBBBB würden BABBBBBBBB , BBABBBBBBB, BBBABBBBBB, BBBBABBBBB, BBBBBABBBB , BBBBBBABBB, BBBBBBBABB, BBBBBBBBAB, BBBBBBBBBA nicht mitgezählt werden usw.
Ich hoff das ist verständlich.
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Das sieht doch schon ganz gut aus. Diese Lösung habe ich jetzt auch raus.
Gibt es noch eine weitere Möglichkeit auf die Lösung zu kommen??
Evtl. auch ohne die Formel??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 05.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Aus fünf verschiedenen Buchstaben (A, B, C, D, E) soll
> eine Buchstabensuppen in Tüten abgefüllt werden. Wie
> viele Möglichkeiten gibt es dafür,
>
> a) Tüten mit jeweils 10 Buchstaben herzustellen, wenn in
> jeder Packung mindestens ein A und mindestens ein B sein
> soll.
>
> b) Tüten mit jeweils 10 Buchstaben herzustellen, wenn in
> jeder Tüte jeder Buchstabe mindestens einmal enthalten
> sein soll?
Man staunt ja immer wieder über die Kreativität
von Lehrern beim Erfinden lebensnaher Aufgaben.
Eine "Buchstabensuppe", die nicht mal das ganze
Alphabet enthält und in anorexiphilen Dosen abge-
zählt werden soll, ist eine irgendwie kranke Erfindung.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mo 02.11.2009 | | Autor: | informix |
Hallo Al-Chwarizmi,
> > Aus fünf verschiedenen Buchstaben (A, B, C, D, E) soll
> > eine Buchstabensuppen in Tüten abgefüllt werden. Wie
> > viele Möglichkeiten gibt es dafür,
> >
> > a) Tüten mit jeweils 10 Buchstaben herzustellen, wenn in
> > jeder Packung mindestens ein A und mindestens ein B sein
> > soll.
> >
> > b) Tüten mit jeweils 10 Buchstaben herzustellen, wenn in
> > jeder Tüte jeder Buchstabe mindestens einmal enthalten
> > sein soll?
>
>
> Man staunt ja immer wieder über die Kreativität
> von Lehrern beim Erfinden lebensnaher Aufgaben.
> Eine "Buchstabensuppe", die nicht mal das ganze
> Alphabet enthält und in anorexiphilen Dosen abge-
> zählt werden soll, ist eine irgendwie kranke Erfindung.
>
> LG Al
"erfinde" du mal immer wieder neue Sachzusammenhänge, denen man nicht auf den ersten Blick sofort ansieht, welche der "vielen Formeln" der Schüler nun anwenden muss!
Heutige Lehrpläne (oder wie sie gerade heißen mögen) sehen so etwas am laufenden Meter vor... 
Und zu schwer darf es auch nun wieder nicht sein - fast die Quadratur des Kreises.
Gnade für die kreativen Lehrer!
Gruß informix
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