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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Do 29.04.2010 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | 1) 5 Mathematiker und 7 Physiker sollen ein Komitee aus 2 Mathematikern und 3 Physikern bilden. Auf wie
viele Arten ist dies moglich, wenn
(i) jeder Mathematiker und jeder Physiker teilnehmen kann,
(ii) ein bestimmter Physiker im Komitee sein muss und
(iii) zwei bestimmte Mathematiker nicht in dem Komitee sein können?
2) 84 Studenten sollen in vier gleich große Ubungsgruppen eingeteilt werden. Wie viele Moglichkeiten gibt es?
3) An einem Taxistand warten 6 Großraumtaxis, die jeweils bis zu 7 Fahrgaste aufnehmen konnen. Wie viele
Moglichkeiten gibt es, 5 Fahrgaste auf die Taxis aufzuteilen, wenn die Taxis, nicht jedoch die Fahrgaste unterschieden
werden sollen?
4) Wie viele Kombinationen mit 11 Buchstaben kann man aus dem Wort MISSISSIPPI" bilden? |
Hallo zusammen,
bis auf Aufgabe 3 habe ich soweit alles gelöst; hoffentlich auch richtig 
zu 1i) Hier wähle ich 2 von 5 Mathematikern und 3 aus 7 Physikern. Also: ${5 [mm] \choose [/mm] 2}\ [mm] \cdot [/mm] \ {7 [mm] \choose [/mm] 3} = [mm] \bruch{5!}{2!\cdot 3!} \cdot \bruch{7!}{3! \cdot 4!} [/mm] = 350$
zu 1ii) Nun muss ein Physiker auf jeden Fall im Komitee sein. Somit können wir nur noch 2 aus 6 Physikern wählen. Damit ergibt sich für die Anzahl der möglichen Kombinationen: ${5 [mm] \choose [/mm] 2} \ [mm] \cdot [/mm] \ {6 [mm] \choose [/mm] 2} = 150$
zu 1iii) Nun können wir die 2 Mathematiker die ins Komitee müssen nur noch aus einer Grundmenge von 3 Mathematikern wählen. Also:
${3 [mm] \choose [/mm] 2} \ [mm] \cdot [/mm] \ {7 [mm] \choose [/mm] 3} = 115$
zu 2) Ich denke hier kann ich den Multinomialkoeffizienten einsetzen. Es geht ja darum $n=84$ Objekte auf $m=4$ Klassen zu verteilen, wobei [mm] $k_1 [/mm] = [mm] k_2 [/mm] = [mm] k_3 [/mm] = [mm] k_4 [/mm] = 21$ gilt. Also ${n [mm] \choose k_1, k_2, k_3, k_4} [/mm] = [mm] \bruch{84!}{21! \cdot 21! \cdot 21! \cdot 21!} [/mm] = 4.86416531 [mm] \cdot 10^{47}$
[/mm]
zu 4) Auch hier kann ich mit dem Multinomialkoeffizienten arbeiten. Die Grundmenge enthält dabei n=11 Objekte (die Buchstaben), wobei diese in 4 Gruppen ununterscheidbarer Objekte unterteilt werden können mit .
$$
[mm] n_M [/mm] = [mm] |G_M| [/mm] = 1 [mm] \\
[/mm]
[mm] n_I [/mm] = [mm] |G_I| [/mm] = 4 [mm] \\
[/mm]
[mm] n_S [/mm] = [mm] |G_S| [/mm] = 4 [mm] \\
[/mm]
[mm] n_P [/mm] = [mm] |G_P| [/mm] = 2
$$
Nun folgt für die Anzahl der möglichen Kombinationen mit dem Multinomialkoeffizienten: ${n [mm] \choose n_M, n_I, n_S, n_P} [/mm] = [mm] \bruch{11!}{1! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 2!} [/mm] = 34650$
zu Aufgabe 3) finde ich leider keinen Ansatz. Hat jemand einen Tipp für mich?
Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruss
jboss
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Hallo,
> 1) 5 Mathematiker und 7 Physiker sollen ein Komitee aus 2
> Mathematikern und 3 Physikern bilden. Auf wie
> viele Arten ist dies moglich, wenn
> (i) jeder Mathematiker und jeder Physiker teilnehmen
> kann,
> (ii) ein bestimmter Physiker im Komitee sein muss und
> (iii) zwei bestimmte Mathematiker nicht in dem Komitee
> sein können?
> 2) 84 Studenten sollen in vier gleich große
> Ubungsgruppen eingeteilt werden. Wie viele Moglichkeiten
> gibt es?
> 3) An einem Taxistand warten 6 Großraumtaxis, die
> jeweils bis zu 7 Fahrgaste aufnehmen konnen. Wie viele
> Moglichkeiten gibt es, 5 Fahrgaste auf die Taxis
> aufzuteilen, wenn die Taxis, nicht jedoch die Fahrgaste
> unterschieden
> werden sollen?
> 4) Wie viele Kombinationen mit 11 Buchstaben kann man aus
> dem Wort MISSISSIPPI" bilden?
> Hallo zusammen,
> bis auf Aufgabe 3 habe ich soweit alles gelöst;
> hoffentlich auch richtig
> zu 1i) Hier wähle ich 2 von 5 Mathematikern und 3 aus 7
> Physikern. Also: [mm]{5 \choose 2}\ \cdot \ {7 \choose 3} = \bruch{5!}{2!\cdot 3!} \cdot \bruch{7!}{3! \cdot 4!} = 350[/mm]
>
> zu 1ii) Nun muss ein Physiker auf jeden Fall im Komitee
> sein. Somit können wir nur noch 2 aus 6 Physikern wählen.
> Damit ergibt sich für die Anzahl der möglichen
> Kombinationen: [mm]{5 \choose 2} \ \cdot \ {6 \choose 2} = 150[/mm]
>
> zu 1iii) Nun können wir die 2 Mathematiker die ins Komitee
> müssen nur noch aus einer Grundmenge von 3 Mathematikern
> wählen. Also:
> [mm]{3 \choose 2} \ \cdot \ {7 \choose 3} = 115[/mm]
>
> zu 2) Ich denke hier kann ich den Multinomialkoeffizienten
> einsetzen. Es geht ja darum [mm]n=84[/mm] Objekte auf [mm]m=4[/mm] Klassen zu
> verteilen, wobei [mm]k_1 = k_2 = k_3 = k_4 = 21[/mm] gilt. Also [mm]{n \choose k_1, k_2, k_3, k_4} = \bruch{84!}{21! \cdot 21! \cdot 21! \cdot 21!} = 4.86416531 \cdot 10^{47}[/mm]
>
> zu 4) Auch hier kann ich mit dem Multinomialkoeffizienten
> arbeiten. Die Grundmenge enthält dabei n=11 Objekte (die
> Buchstaben), wobei diese in 4 Gruppen ununterscheidbarer
> Objekte unterteilt werden können mit .
> [mm][/mm]
> [mm]n_M[/mm] = [mm]|G_M|[/mm] = 1 [mm]\\[/mm]
> [mm]n_I[/mm] = [mm]|G_I|[/mm] = 4 [mm]\\[/mm]
> [mm]n_S[/mm] = [mm]|G_S|[/mm] = 4 [mm]\\[/mm]
> [mm]n_P[/mm] = [mm]|G_P|[/mm] = 2
> [mm][/mm]
> Nun folgt für die Anzahl der möglichen Kombinationen mit
> dem Multinomialkoeffizienten: [mm]{n \choose n_M, n_I, n_S, n_P} = \bruch{11!}{1! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 2!} = 34650[/mm]
>
Das sieht soweit alles sehr gut aus
>
> zu Aufgabe 3) finde ich leider keinen Ansatz. Hat jemand
> einen Tipp für mich?
> Bin für jede Hilfe dankbar.
Naja, zunächst würd ich mir mal überlegen, wie man überhaupt 5 Leute aufteilen kann, da gäbs doch schon mal folgende 6 Fälle:
5+0
4+1
3+2
3+1+1
2+2+1
2+1+1+1
und 1+1+1+1+1.
Für ersteren Fall gäb es 6 Möglichkeiten , denn ein Taxi der 6 Möglichen wird mit 5 Leuten besetzt, bei letzterem Fall sind es auch 6 Möglichkeiten, denn eines der 6 Taxis würde leer bleiben.
Für Fall Nummer 2 und 3 gäb es 6*5=30 Möglichkeiten.
Für Fall Nummer 3 und 4 gäbe es
[mm] \vektor{6 \\ 2} [/mm] *4 = 60 Möglichkeiten
und für den 5. Fall gäbe es [mm] \vektor{6 \\ 3}*3 [/mm] =60 Möglichkeiten.
Somit käme ich auf summa summarum 252 mögliche Aufteilung, (zumindest wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dass zwar die Fahrgäste an sich nicht unterschieden werden, die Anzahl Fahrgäste pro Taxi jedoch schon...)
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 Do 29.04.2010 | | Autor: | jboss |
Hey,
> Das sieht soweit alles sehr gut aus
Das freut mich
> >
> > zu Aufgabe 3) finde ich leider keinen Ansatz. Hat jemand
> > einen Tipp für mich?
> > Bin für jede Hilfe dankbar.
>
> Naja, zunächst würd ich mir mal überlegen, wie man
> überhaupt 5 Leute aufteilen kann, da gäbs doch schon mal
> folgende 6 Fälle:
> 5+0
> 4+1
> 3+2
> 3+1+1
> 2+2+1
> 2+1+1+1
> und 1+1+1+1+1.
> Für ersteren Fall gäb es 6 Möglichkeiten , denn ein
> Taxi der 6 Möglichen wird mit 5 Leuten besetzt, bei
> letzterem Fall sind es auch 6 Möglichkeiten, denn eines
> der 6 Taxis würde leer bleiben.
> Für Fall Nummer 2 und 3 gäb es 6*5=30 Möglichkeiten.
> Für Fall Nummer 3 und 4 gäbe es
> [mm]\vektor{6 \\ 2}[/mm] *4 = 60 Möglichkeiten
> und für den 5. Fall gäbe es [mm]\vektor{6 \\ 3}*3[/mm] =60
> Möglichkeiten.
> Somit käme ich auf summa summarum 252 mögliche
> Aufteilung, (zumindest wenn ich die Aufgabe richtig
> verstanden habe, dass zwar die Fahrgäste an sich nicht
> unterschieden werden, die Anzahl Fahrgäste pro Taxi jedoch
> schon...)
Hört sich plausubel an. Danke dir! Werde das ganze morgen nochmal überdenken und eventuell weitere Fragen stellen.
Viele Grüße
jboss
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