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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:30 So 19.04.2015 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Als Geheimzahlen für EC-Karten werden 4-stellige Zahlen verwendet, wobei auch führende Nullen vorkommen können.
(a) Gib einen geeigneten Ereignisraum [mm] \Omega [/mm] für die Vergabe von solchen Geheimzahlen an. Gib außerdem [mm] |\Omega| [/mm] an.
(b) Für k=2,3,4 sei [mm] A_k\subseteq \Omega [/mm] die Menge aller Geheimzahlen mit mindestens k gleichen Ziffern. Beschreibe die Mengen [mm] A_k, [/mm] k=2,3,4, mengentheoretisch.
(c) Berechne [mm] |A_k| [/mm] für k=2,3,4. |
Hallo,
erstmal zu
(a) da habe ich [mm] \Omega [/mm] folg. definiert: [mm] \Omega=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)|a_i\in\{0,...,9\},i\in\{1,2,3,4\}\} [/mm] und [mm] |\Omega|=10^4=10000
[/mm]
(b) [mm] A_2=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)\in \Omega, \mbox{mindestens 2 der a_1,...,}a_4 \mbox{sind gleich}\}
[/mm]
[mm] A_3=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)\in \Omega,\mbox{ mindestens 3 der} a_1,...,a_4 \mbox{sind gleich}\}
[/mm]
[mm] A_4=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)\in \Omega, \mbox{alle 4 der} a_1,...,a_4 \mbox{sind gleich}\}=\{(0,0,0,0),(1,1,1,1),(2,2,2,2),(3,3,3,3),...,(9,9,9,9)\}
[/mm]
Würde das für teil b schon ausreichen?
(c) Da habe ich mir noch [mm] A_1 [/mm] definiert: [mm] A_1=\{(a_1,...,a_4)\in \Omega, a_1,...,a_4 \mbox{sind paarweise verschieden}\}
[/mm]
[mm] |A_1|=10\cdot [/mm] 9 [mm] \cdot [/mm] 8 [mm] \cdot [/mm] 7=5040
[mm] |A_2|=|\Omega\setminus A_1|=10000-5040=4960
[/mm]
für [mm] A_3 [/mm] wird es schwieriger. Ich habe folgendes gemacht:
für Ich habe eine Menge [mm] A_2' [/mm] definiert für die genau 2 der [mm] a_i [/mm] gleich sind, d.h
[mm] |A_2'|=(\vektor{4 \\ 2}9^2)\cdot [/mm] 10 =4860
[mm] |A_3|=|A_2\setminus A_2'|=4960-4860=100
[/mm]
irgendwie scheinen mir die Zahlen nicht richtig zu sein
ich habe dann für [mm] A_3' [/mm] (für genau 3 gleiche [mm] a_i) [/mm] folgendes überlegt
z.B. für [mm] \{0,0,0,1\} [/mm] das lässt sich in 4 verschiedene Reihenfolge kombinieren
[mm] \Rightarrow [/mm] (0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0) und wenn man das für alle ziffern macht erhält man für [mm] |A_3'|=360
[/mm]
und für [mm] A_3 [/mm] erhält man indem man [mm] A_3'\cup A_4 [/mm] und für [mm] |A_4|=10 [/mm] d.h. wir erhalten dann [mm] |A_3|=370
[/mm]
kann mir da jemand weiterhelfen? gibt es evtl eine Formel dazu wie man es rechnen kann?
Ich bin für jeden Tipp dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mi 22.04.2015 | | Autor: | chrisno |
Hallo, ich habe diese Frage erst gesehen, nachdem Matux zugeschlagen hat. Mal sehen, was ich so beitragen kann.
> .....
> (a) da habe ich [mm]\Omega[/mm] folg. definiert:
> [mm]\Omega=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)|a_i\in\{0,...,9\},i\in\{1,2,3,4\}\}[/mm]
> und [mm]|\Omega|=10^4=10000[/mm]
Soweit ich das einschätzen kann, ist das richtig.
>
> (b) [mm]A_2=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)\in \Omega, \mbox{mindestens 2 der a_1,...,}a_4 \mbox{sind gleich}\}[/mm]
>
> [mm]A_3=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)\in \Omega,\mbox{ mindestens 3 der} a_1,...,a_4 \mbox{sind gleich}\}[/mm]
>
> [mm]A_4=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)\in \Omega, \mbox{alle 4 der} a_1,...,a_4 \mbox{sind gleich}\}=\{(0,0,0,0),(1,1,1,1),(2,2,2,2),(3,3,3,3),...,(9,9,9,9)\}[/mm]
>
> Würde das für teil b schon ausreichen?
Da bin ich nicht so sicher. Für mich ist das klar ausgedrückt, die Frage ist, ob die sprachlichen Anteile wie "mindestens" zugelassen sind.
>
> (c) Da habe ich mir noch [mm]A_1[/mm] definiert:
> [mm]A_1=\{(a_1,...,a_4)\in \Omega, a_1,...,a_4 \mbox{sind paarweise verschieden}\}[/mm]
>
> [mm]|A_1|=10\cdot[/mm] 9 [mm]\cdot[/mm] 8 [mm]\cdot[/mm] 7=5040
> [mm]|A_2|=|\Omega\setminus A_1|=10000-5040=4960[/mm]
Sehe ich ach so.
>
> für [mm]A_3[/mm] wird es schwieriger. Ich habe folgendes gemacht:
>
> für Ich habe eine Menge [mm]A_2'[/mm] definiert für die genau 2
> der [mm]a_i[/mm] gleich sind, d.h
> [mm]|A_2'|=(\vektor{4 \\ 2}9^2)\cdot[/mm] 10 =4860
> [mm]|A_3|=|A_2\setminus A_2'|=4960-4860=100[/mm]
>
> irgendwie scheinen mir die Zahlen nicht richtig zu sein
Auch das kann ich nachvollziehen
>
> ich habe dann für [mm]A_3'[/mm] (für genau 3 gleiche [mm]a_i)[/mm]
> folgendes überlegt
>
> z.B. für [mm]\{0,0,0,1\}[/mm] das lässt sich in 4 verschiedene
> Reihenfolge kombinieren
> [mm]\Rightarrow[/mm] (0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0) und
> wenn man das für alle ziffern macht erhält man für
> [mm]|A_3'|=360[/mm]
>
> und für [mm]A_3[/mm] erhält man indem man [mm]A_3'\cup A_4[/mm] und für
> [mm]|A_4|=10[/mm] d.h. wir erhalten dann [mm]|A_3|=370[/mm]
So hätte ich es auch gemacht.
>
> kann mir da jemand weiterhelfen? gibt es evtl eine Formel
> dazu wie man es rechnen kann?
Ich leider nicht. Ich denke noch nach, welche der beiden Berechnungen für [mm] $A_3$ [/mm] falsch ist. Nun muss ich aber erst mal etwas anderes machen.
Nun habe ich nachgedacht. Folgendes ist herausgekommen:
> für Ich habe eine Menge [mm]A_2'[/mm] definiert für die genau 2
> der [mm]a_i[/mm] gleich sind, d.h
> [mm]|A_2'|=(\vektor{4 \\ 2}9^2)\cdot[/mm] 10 =4860
Dabei zählst Du Paare der Art (2,2,4,4) doppelt. Mit
[mm]|A_2''|=(\vektor{4 \\ 2}9\cdot 8)\cdot[/mm] 10 =4320
werden sie ganz ausgeschlossen, das ist auch nicht richtig. Die Wahrheit liegt beim Mittelwert, denn dann werden sie nur einmal mit gezählt, das sind [mm] $|A_2'''|=4590$. [/mm] Dann
[mm]|A_3|=|A_2\setminus A_2'''|=4960-4590=370[/mm] Hurra.
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